Una función con una derivada distinta de cero, con una función inversa que no tiene derivada.

Question

Mientras estudiaba cálculo, me encontré con la siguiente afirmación: "Dada una función $f(x)$ con $f'(x_0)\neq 0$ , de tal manera que $f$ tiene una inversa en alguna vecindad de $x_0$ y tal que $f$ es continua en dicha vecindad, entonces $f^{-1}$ tiene una derivada en $f(x_0)$ dado por: $${f^{-1}}'(x_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$$

Mis preguntas son: ¿por qué $f$ tienen que ser continuas en un todo el barrio de $x_0$ y no sólo en $x_0$ ? ¿Existe algún contraejemplo conocido para ello?

Answer 1

La sugerencia del título no es cómo va a funcionar. En lugar de tener una inversa que no tiene derivada, no tendremos una inversa continua. Además, la condición requerida para el teorema no es sólo que $f$ es continua en un intervalo - es que $f'$ es continua en un intervalo alrededor del punto clave.

Ejemplo: $f(x)=\begin{cases}x+2x^2\sin\frac 1x&x\neq 0\\0&x = 0\end{cases}$ . Este $f$ es diferenciable en todas partes, con la derivada $1$ en cero, pero no tiene una inversa en ninguna vecindad de cero. ¿Por qué? Porque no es monótona en ninguna vecindad de cero. Tenemos $f'(x)=1+4x\sin\frac1x-2\cos\frac1x$ para $x\neq 0$ que es negativo siempre que $\frac1x\equiv 0\mod 2\pi$ . Podemos encontrar un inverso unilateral $g$ con $f(g(x))=x$ pero esto $g$ tendrá necesariamente infinitas discontinuidades de salto cerca de cero.

El cálculo de la derivada de $f^{-1}$ es sólo una aplicación de la regla de la cadena. La verdadera esencia del teorema de la función inversa es la existencia de una inversa diferenciable.

Answer 2

En primer lugar, cualquier función tiene una inversa "en $x_0$ "porque acabamos de asignar $f(x_0)$ el valor $x_0$ ; realmente no tiene sentido hablar a la inversa que existe en un punto. Necesitamos una vecindad completa porque entonces podemos utilizar la derivada, que está definida por un límite, por lo que debemos ser capaces de "acercarnos" $x_0$ aritméticamente de cerca.

Answer 3

Creo que mientras $f^{-1}$ está bien definida en una vecindad de $f(x_0)$ y continua en $f(x_0)$ no hay ningún problema.

Sí, es cierto, $f(f^{-1}(f(x_0)+h))=f(x_0)+h$ así que $h=f(f^{-1}(f(x_0)+h))-f(x_0) \sim f’(x_0)(f^{-1}(f(x_0)+h)-x_0)$ y la conclusión (de la diferenciabilidad y del valor de la derivada) se deduce.

Answer 4

La condición de continuidad no es necesaria. Es suficiente que $f$ sea inyectiva en alguna vecindad. Dicho esto, si su función tiene una secuencia de discontinuidades de salto cerca de $x_0$ , puede tener que no hay ningún intervalo abierto $U$ alrededor de $x_0$ para lo cual $f(U)$ también es un intervalo. Esto significa que $f^{-1}$ puede definirse en un dominio extraño, aunque todavía podemos técnicamente diferenciarlo para obtener el resultado deseado.

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Formalmente, el enunciado que habría que demostrar es el siguiente:

Dejemos que $A$ y $B$ sean subconjuntos de $\mathbb R$ y $f:A\rightarrow B$ y $g:B\rightarrow \mathbb R$ . Supongamos que $x_0\in A$ es un punto de acumulación de $A$ y $f(x_0)$ es un punto de acumulación de $B$ . Entonces,

• Si dos de las derivadas $f'(x_0)$ y $g'(f(x_0))$ y $(f\circ g)'(x_0)$ existen y son distintos de cero, el tercero también existe.

• Si todas las derivadas existen, entonces $(f\circ g)'(x_0)=f'(x_0)\cdot g'(f(x_0)).$

Una vez que se tiene este enunciado, se puede aplicar a un par en el que tomamos $g=f^{-1}$ . Tenga en cuenta que podemos hacer que esto funcione incluso si $f$ no está definido en un intervalo alrededor de $x_0$ - está bien siempre y cuando tengamos suficientes puntos para definir el límite relevante hacia $x_0$ .

Es cierto que es un poco inusual hablar de derivadas sobre conjuntos que no son abiertos, pero no hay ninguna limitación técnica que lo impida, aunque la demostración del lema sugerido es un dolor.