Sistema de ecuaciones superduro

Question

Resuelve el sistema de ecuación para números reales.

\begin{split} (a+b) &(c+d) &= 1 & \qquad (1)\\ (a^2+b^2)&(c^2+d^2) &= 9 & \qquad (2)\\ (a^3+b^3)&(c^3+d^3) &= 7 & \qquad (3)\\ (a^4+b^4)&(c^4+d^4) &=25 & \qquad (4)\\ \end{división}

---

Primero utilicé la identidad $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2$ $. Use esta identidad también para (4) y simplifique (3), obtenemos $$(a^2+b^2-ab)(c^2+d^2-cd)=7$ $ y supongamos que $x=abcd$ use $ac=x /bd , bc=x/ad$ Pero nos atascamos. ..

Answer 1

Sugerencia: $ac=x, bc=y, ad=u, bd=v$, entonces las ecuaciones son

$x+y+u+v=1$

$x^2+y^2+u^2+v^2=9$

$x^3+y^3+u^3+v^3=7$

$x^4+y^4+u^4+v^4=25$

El uso de Newton-Girard para el cálculo de la primaria polinomios. Entonces usted tiene el polinomio $P(z)= (z-x)(z-y)(z-u)(z-v)$ variable $z$. Resolver la ecuación de cuarto grado $P(z)=0$, y hay que tener los valores de $x,y,u,v$ en un cierto orden. Tenga en cuenta que no en cualquier orden: $xv=yu$ debe ser verdadera, véase la definición de estas variables.

Por supuesto, una vez que usted ha $x,y,u,v$, es fácil de calcular, $a,b,c,d$.

P. S. Por este camino podemos obtener: $$\{x,y,u,v\}=\{-1,2,\sqrt2,-\sqrt2\},$$ which gives $abcd=-2.$ Hasta la simetría, la solución es $(a,b,c,d)= (t, -\sqrt{2}t, -\frac{1}{t}, -\frac{\sqrt{2}}{t})$ cualquier $t\neq 0$. (Por arriba a la simetría, me refiero a que puede cambiar $a$ e $b$, puede cambiar de $c$ e $d$, y usted puede cambiar el par $(a,b)$ con $(c,d)$, por lo que hay $8$ simetrías.)

Answer 2

No realmente completa, pero un resultado interesante el uso de simples manipulaciones algebraicas.

---

Escribir: $$\begin{align} a^2+b^2&=(a+b)^2-2ab\\ a^3+b^3&=(a+b)(a^2+b^2-ab)=(a+b)((a+b)^2-3ab)\\ a^4+b^4&=((a^2)^2+(b^2)^2)=\cdots=(a+b)^4+2a^2b^2-4ab(a+b)^2\\ \vdots \end{align}$$ De $(2)$, tenemos: $$\begin{align} (a^2+b^2)(c^2+d^2)&=((a+b)^2-2ab)((c+d)^2-2cd)=9\\ &=\color{red}{(a+b)^2(c+d)^2}-2ab(c+d)^2-2cd(a+b)^2-4abcd=9 \end{align}$$ Pero de $(1)$, sabemos que $(a+b)(c+d)=1$, entonces el texto en $\color{red}{\text{red}}$ es también igual a $1$, por lo que el resultado anterior se transforma en: $$2abcd-ab(c+d)^2-cd(a+b)^2=4\tag{1*}$$ De $(3)$, tenemos: $$\begin{align} (a^3+b^3)(c^3+d^3)&=\color{red}{(a+b)}((a+b)^2-3ab)\color{red}{(c+d)}((c+d)^2-3cd)=7\\ &=((a+b)^2-3ab)((c+d)^2-3cd)=7\\ &\qquad\vdots\\ &=3abcd-ab(c+d)^2-cd(a+b)^2=2\tag{2*} \end{align}$$ La adición de $(1*)$ e $(2*)$, obtenemos $abcd=-2$ y que $\color{pink}{ab(c+d)^2+cd(a+b)^2=-8}$.

---

Ahora $(4)$ es realmente difícil, pero se puede escribir como: $$\begin{align} \left((a+b)^4+2a^2b^2-4ab(a+b)^2\right)\left((c+d)^4+2c^2d^2-4cd(c+d)^2\right)&=25 \end{align}$$ La expansión, y podemos eliminar $(a+b)^4(c+d)^4$ ya que es igual a $1$. Entonces tenemos: $$\begin{align} a^2b^2(c+d)^4-2ab(c+d)^2+c^2d^2(a+b)^4+2(abcd)^2-4abc^2d^2(a+b)^2-2cd(a+b)^2-4a^2b^2cd(c+d)^2-4abcd=12 \end{align}$$ Utilizando el hecho de que $abcd=-2$, entonces podemos acortar la ecuación anterior en: $$\color{red}{a^2b^2(c+d)^4+c^2d^2(a+b)^4}+5ab(c+d)^2-10cd(a+b)^2+16=12\tag{3*}$$ Sin embargo, se puede ver que el texto en $\color{red}{\text{red}}$ se ve muy cerca de la plaza de los dos sumandos: $$\color{red}{a^2b^2(c+d)^4+c^2d^2(a+b)^4}=(ab(c+d)^2+cd(a+b)^2)^2-2\color{blue}{abcd(a+b)^2(c+d)^2}$$ Sin embargo ya sabemos el valor de la parte en $\color{blue}{\text{blue}}$ a $-2 \cdot 1$. Ahora podemos escribir $(3*)$como: $$(ab(c+d)^2+cd(a+b)^2)^2+6ab(c+d)^2-10cd(a+b)^2=-8$$

---

A partir de aquí, se puede sustituir el $x=ab(c+d)^2$ e $y=cd(a+b)^2$, lo que da dos sistemas de ecuaciones: $$(x+y)^2+6x-10 años=-8\\ x+y=-8$$ Esto tiene una solución: $$x=-\frac{19}2\,\,y=\frac32$$

---

Usted puede tratar de trabajar desde aquí.

Answer 3

Vamos a mostrar que $(a,b)$ pertenece a una de las dos líneas con las ecuaciones de $b=\sqrt{a}$ e $b=\frac{1}{\sqrt{a}}$ como se muestra en la siguiente figura. Se le dará la respuesta, debido a la simetría del sistema de ecuaciones con respecto al grupo de variables $(a,b)$ vs $(c,d)$. Por otra parte, vamos a establecer (ver (*) en la parte inferior) que la última ecuación es superfluo.

Aquí está la explicación :

Vamos a :

$$S_1:=a+b, \ \ S_2:=c+d, \ \ P_1:=ab, \ \ P_2:=cd$$

El sistema constituido por las tres primeras ecuaciones pueden ser escritas, con estas variables, utilizando clásico transformaciones :

$$\begin{cases} (A) \ &S_1S_2&=&1& \ &\\ (B) \ &(S_1^2-2P_1)(S_2^2-2P_2)&=&9 & \ \implies \ & (C) \ 1-2(P_1S_2^2+P_2S_1^2)+4(P_1P_2)=9\\ (D) \ &(S_1^3-2P_1S_1)(S_2^3-2P_2S_2)&=&7 & \ \implies \ & (E) \ 1-3S_1S_2(P_1S_2^2+P_2S_1^2)+9(P_1P_2)=7. \end{casos}$$

(las ecuaciones (C) y (E) son obtenidos por la expansión de (B) y (D) resp., el uso de la relación (A)).

Configuración

$$\alpha := P_1P_2 \ \text{and} \ \beta := P_1S_2^2+P_2S_1^2,$$

las ecuaciones (C) y (E) se convierten en :

$$\begin{cases} (C) & \ 2\alpha-\beta&=&4\\ (E) & \ 3\alpha-\beta&=&2 \end{casos} \ \ \implica \ \ \alpha=-2 \ \text{y} \ \beta=-8.$$

Utilizando el hecho de que $S_1S_2=1$ e $\alpha=P_1P_2=-2$, la ecuación de $\beta=-8$ se convierte en :

$$P_1 \frac{1}{S_1^2} - \frac{2}{P_1}S_1^2 = -8$$

es decir,

$$(F) \ \ \ \ P_1^2 + 8 P_1S_1^2 - 2 S_1^4 =0,$$

que puede ser considerado como una ecuación cuadrática en la variable $P_1$ da dos soluciones. Debido a la condición de clásico

$$(a+b)^2 \geq 2ab \ \iff \ S_1^2 \geq 2P_1,$$

sólo una de estas soluciones es elegible :

$$P_1=(-4+3\sqrt{2})S_1^2 \ \ \ \iff \ \ \ ab=(-4+3\sqrt{2})(a+b)^2 \ \ \ \iff \ \ \ (b-\sqrt{2}a)(b-\frac{\sqrt{2}}{2}a)=0$$

donde el resultado correspondiente a la figura.

Las ecuaciones paramétricas de las dos líneas son

$$(a,b)=(p,p \sqrt{2}) \ \ \text{and} \ \ (a,b)=(p,p \frac{\sqrt{2}}{2}), \ \ \text{for any} \ \ p \neq 0$$

Debido a la simetría de las ecuaciones, tenemos, también, para cualquier $q \neq 0$ :

$$(c,d)=(q,q \sqrt{2}) \ \ \text{and} \ \ (c,d)=(q,q \frac{\sqrt{2}}{2}).$$

Un rápido vistazo a cualquiera de las cuatro ecuaciones muestran que, necesariamente, $q=\frac{1}{p}$. Nos encontramos de nuevo en este modo, todas las soluciones dadas por @Claude Leibovici y @A. Pongrácz .

---

(*) De hecho, la cuarta ecuación es una consecuencia de los tres primeros. Aquí es por qué :

Primero de todo, la relación (F) es equivalente a :

$$(G) \ \ \ \ S_1^4=\frac12P_1^2+4P_1S_1^2.$$

Como la cuarta ecuación puede ser escrita :

$$(H) \ \ \ \ (S_1^4+2P_1^2-4P_1S_1^2)(S_2^4+2P_2^2-4P_2S_2^2)=25,$$

el uso de (G) (H), obtenemos :

$$\frac52P_1^2 \frac52P_2^2=25,$$

que es una tautología debido al hecho de que $\alpha=P_1P_2=-2.$

Answer 4

Esta no es una respuesta pero es demasiado largo para un comentario.

Mirando este sistema de ecuaciones, tuve una sensación muy extraña (que no me lo explico).

Utilizando un CAS, he resuelto ecuaciones $(1)$, $(2)$, $(3)$ para $a,b,c$ como funciones de $d$ y obtuvo $8$ soluciones que se enumeran a continuación $$\left\{a= \frac{2}{d},b= \frac{\sqrt{2}}{d},c= -\frac{d}{\sqrt{2}}\right\},\left\{a= \frac{\sqrt{2}}{d},b= \frac{2}{d},c= -\frac{d}{\sqrt{2}}\right\},\left\{a= \frac{2}{d},b= -\frac{\sqrt{2}}{d},c= \frac{d}{\sqrt{2}}\right\},\left\{a= -\frac{\sqrt{2}}{d},b= \frac{2}{d},c= \frac{d}{\sqrt{2}}\right\},\left\{a= -\frac{1}{d},b= -\frac{\sqrt{2}}{d},c= -\sqrt{2} d\right\},\left\{a= -\frac{\sqrt{2}}{d},b= -\frac{1}{d},c= -\sqrt{2} d\right\},\left\{a= -\frac{1}{d},b= \frac{\sqrt{2}}{d},c= \sqrt{2} d\right\},\left\{a= \frac{\sqrt{2}}{d},b= -\frac{1}{d},c= \sqrt{2} d\right\}$$

El problema es que, en sustitución de en $(4)$ cualquiera de estas soluciones, la ecuación resultante es $25=25$ !