Demostrar que la solución al problema de la EDP es la trivial

Question

$$u_t = c^2u_{xx} \mid (x,t) \in (0,L) \times (0, \infty)$$ $$u_x(0,t) = u_x(L,t) = 0 \mid t > 0$$ $$u(x,0) = 0 \mid x \in [0,L]$$

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He probado el método de la energía basado en Pinchover y Rubinstein (*):

$$\text{Let } E(t) = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} u^2 dx$$

$$\to E'(t) = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} 2uu_t dx$$

$$= c^2 \frac{1}{2} \int_{0}^{L} 2uu_{xx} dx$$

$$= c^2 \int_{0}^{L} uu_{xx} dx$$

$$= c^2 [\underbrace{uu_{x}\mid_{0}^{L}}_{\text{zero}} - \int_{0}^{L} u_x dx] \text{(**)}$$

$$= - c^2 [\int_{0}^{L} u_x dx]$$

Se supone que debo decir que $E(t)$ es no negativo, decreciente y cero cuando $t=0$ pero creo que me falta otro $u_x$ en el integrando de la última línea:

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(**)

$$\int_{0}^{L} uu_{xx} dx$$

$$ w = u \mid dv = u_{xx} dx$$

$$dw = du \mid v = u_{x}$$

$$= uu_{x} - \int_{0}^{L} u_{x} dx$$

¿Se supone que es eso $dw = u_x dx$ ?

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¿En qué me he equivocado? ¿Algún otro error?

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(*)

Answer 1

Se supone que es $dw = u_xdx$ porque la diferenciación es w/rt x y no u, al igual que la integración para la parte dv es w/rt x