La respuesta de Andrew es correcta, pero aquí hay una forma más geométrica de pensar en la misma respuesta.
Si una codimensión $r$ variedad se recorta por $r$ ecuaciones, entonces cada ecuación recorta realmente una nueva dimensión, es decir $V(f_1,\ldots,f_{i+1})$ es un divisor en $V(f_1,\ldots,f_i)$ recortado por $f_{i+1} = 0$ . Así, la intersección de $V(f_1,\ldots,f_i)$ y $V(f_{i+1})$ es una intersección propia, por lo que el grados se multiplican.
Aquí está una forma de pensar en esta última afirmación:
Podemos suponer que el grado de $V(f_1,\ldots,f_i)$ es igual a $d,$ el producto de los grados de $f_1, \ldots,f_i$ por inducción. Geométricamente, esto significa que un subespacio lineal genérico $L$ de dimensión $i$ se encuentra con $V(f_1,\ldots,f_i)$ en $d$ puntos.
Para calcular el grado de $V(f_1,\ldots,f_{i+1})$ nos cruzamos con un subespacio lineal genérico $L'$ de dimensión $i+1$ .
Supongamos que $d'$ es el grado de $f_{i+1}$ . Entonces se puede deformar la ecuación $f_{i+1} = 0$ a una ecuación de la forma $l_1\ldots l_{d'}$ donde cada $l_j$ es una ecuación lineal elegida genéricamente. Así, $V(f_{i+1})$ se puede deformar a la unión de los hiperplanos $V(l_1)\cup \cdots \cup V(l_{d'})$ y así
$$V(f_1,\ldots,f_{i+1}) \cap L' = V(f_1,\ldots,f_i) \cap V(f_{i+1}) \cap L',$$ que se puede deformar para $$V(f_1,\ldots,f_i) \cap \bigl(V(l_1)\cup \cdots \cup V(l_{d'})\bigr) \cap L' = \bigl(V(f_1,\ldots , f_i) \cap V(l_1) \cap L'\bigr) \cup \cdots \cup \bigl(V(f_1,\ldots,f_i)\cap V(l_1)\cap L'\bigr) \bigr).$$ Ahora cada $V(l_j)\cap L'$ es la intersección de un hiperplano genérico y el genérico $i+1$ -subespacio lineal de dimensiones $L'$ y por tanto es un subespacio lineal genérico de dimensión $i$ . Así, cada intersección $V(f_1,\ldots,f_i)\cap V(l_j)\cap L'$ consiste en $d$ puntos, por lo que su unión consiste en $dd'$ puntos. QED
Si $V$ es un $r$ -variedad de dimensiones recortadas por más de $r$ ecuaciones, entonces podemos escribirla en la forma $V(f_1,\ldots,f_r, f_{r+1},\ldots,f_s)$ para algunos $s > r$ , donde $V(f_1,\ldots,f_r)$ es ya de codimensión $r$ (pero no irreducible). El subesquema cerrado $V(f_1,\ldots,f_r)$ de $\mathbb P^n$ es entonces de grado igual al producto de los grados del $f_1,\ldots,f_r$ pero (por suposición) las ecuaciones adicionales $f_{r+1}, \ldots, f_s$ no reduzcan más la dimensión. En cambio, recortan algún componente irreducible particular de $V(f_1,\ldots,f_r)$ . En particular, las intersecciones $V(f_1,\ldots,f_r) \cap V(f_j)$ para $j > r$ no son propios, y el grado de una intersección no propia no se da como el producto de los grados.
Así que el fenómeno básico aquí es el siguiente: si $V$ es un conjunto algebraico reducible de (equi)codimensión $r$ una unión de componentes $V_1,\ldots,V_m$ entonces $\deg V = \sum_i \deg V_i$ pero no hay una relación inmediata entre los grados de los polinomios adicionales necesarios para recortar los distintos $V_i$ y los grados de esos $V_i$ .
Un buen ejemplo en el que pensar es el caso de una curva cúbica retorcida en $\mathbb P^3$ (con coordenadas hom. $X,Y,Z,W$ ). Se obtiene intersectando primero las cuadriculas $V(X^2 - YW)$ y $V(XZ - Y^2)$ . Esta intersección es un grado $4$ curva que es reducible; es la unión de una línea $L$ (la línea cortada por $X = Y = 0$ ) y la curva cúbica retorcida $C$ . Para recortar $C$ tenemos que imponer la ecuación adicional $X^3 - ZW^2 = 0$ .
