Cuándo leer el grado de una variedad a partir de sus polinomios definitorios

Question

La cuestión se refiere a las variedades algebraicas.

Acabo de leer la pregunta El grado de una curva algebraica en dimensiones superiores y gran respuesta del usuario M P. Una de las cosas que dice es que si una curva en $\mathbb{P}^n$ viene dada por $n-1$ ecuaciones (que suele ser pas el caso por supuesto), entonces su grado es de hecho el producto del grado de los polinomios que lo definen.

Espero que esto no se mantenga si hay más de $n-1$ polinomios necesarios para definir la curva. ¿Podría alguien decirme si esto es cierto y por qué?

Sí espero que se mantenga para las variedades generales. Si una variedad en $\mathbb{P}^n$ es de codimensión $r$ y también dada por exactamente $n-r$ polinomios, ¿su grado es de hecho el producto de los grados de los polinomios que lo definen? ¿Podría decirme si es así y, sobre todo, por qué?

Por cierto, grado como en número genérico de puntos de intersección con una variedad de dimensión complementaria..

Muchas gracias de antemano, Joachim

P.D. Georges E. te debo una por tu esfuerzo en mi pregunta sobre los morfismos étale. Sé que este no es el lugar para decir estas cosas, pero lo hago de todos modos.

Answer 1

La respuesta de Andrew es correcta, pero aquí hay una forma más geométrica de pensar en la misma respuesta.

Si una codimensión $r$ variedad se recorta por $r$ ecuaciones, entonces cada ecuación recorta realmente una nueva dimensión, es decir $V(f_1,\ldots,f_{i+1})$ es un divisor en $V(f_1,\ldots,f_i)$ recortado por $f_{i+1} = 0$ . Así, la intersección de $V(f_1,\ldots,f_i)$ y $V(f_{i+1})$ es una intersección propia, por lo que el grados se multiplican.

Aquí está una forma de pensar en esta última afirmación:

Podemos suponer que el grado de $V(f_1,\ldots,f_i)$ es igual a $d,$ el producto de los grados de $f_1, \ldots,f_i$ por inducción. Geométricamente, esto significa que un subespacio lineal genérico $L$ de dimensión $i$ se encuentra con $V(f_1,\ldots,f_i)$ en $d$ puntos.

Para calcular el grado de $V(f_1,\ldots,f_{i+1})$ nos cruzamos con un subespacio lineal genérico $L'$ de dimensión $i+1$ .

Supongamos que $d'$ es el grado de $f_{i+1}$ . Entonces se puede deformar la ecuación $f_{i+1} = 0$ a una ecuación de la forma $l_1\ldots l_{d'}$ donde cada $l_j$ es una ecuación lineal elegida genéricamente. Así, $V(f_{i+1})$ se puede deformar a la unión de los hiperplanos $V(l_1)\cup \cdots \cup V(l_{d'})$ y así
$$V(f_1,\ldots,f_{i+1}) \cap L' = V(f_1,\ldots,f_i) \cap V(f_{i+1}) \cap L',$$ que se puede deformar para $$V(f_1,\ldots,f_i) \cap \bigl(V(l_1)\cup \cdots \cup V(l_{d'})\bigr) \cap L' = \bigl(V(f_1,\ldots , f_i) \cap V(l_1) \cap L'\bigr) \cup \cdots \cup \bigl(V(f_1,\ldots,f_i)\cap V(l_1)\cap L'\bigr) \bigr).$$ Ahora cada $V(l_j)\cap L'$ es la intersección de un hiperplano genérico y el genérico $i+1$ -subespacio lineal de dimensiones $L'$ y por tanto es un subespacio lineal genérico de dimensión $i$ . Así, cada intersección $V(f_1,\ldots,f_i)\cap V(l_j)\cap L'$ consiste en $d$ puntos, por lo que su unión consiste en $dd'$ puntos. QED

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Si $V$ es un $r$ -variedad de dimensiones recortadas por más de $r$ ecuaciones, entonces podemos escribirla en la forma $V(f_1,\ldots,f_r, f_{r+1},\ldots,f_s)$ para algunos $s > r$ , donde $V(f_1,\ldots,f_r)$ es ya de codimensión $r$ (pero no irreducible). El subesquema cerrado $V(f_1,\ldots,f_r)$ de $\mathbb P^n$ es entonces de grado igual al producto de los grados del $f_1,\ldots,f_r$ pero (por suposición) las ecuaciones adicionales $f_{r+1}, \ldots, f_s$ no reduzcan más la dimensión. En cambio, recortan algún componente irreducible particular de $V(f_1,\ldots,f_r)$ . En particular, las intersecciones $V(f_1,\ldots,f_r) \cap V(f_j)$ para $j > r$ no son propios, y el grado de una intersección no propia no se da como el producto de los grados.

Así que el fenómeno básico aquí es el siguiente: si $V$ es un conjunto algebraico reducible de (equi)codimensión $r$ una unión de componentes $V_1,\ldots,V_m$ entonces $\deg V = \sum_i \deg V_i$ pero no hay una relación inmediata entre los grados de los polinomios adicionales necesarios para recortar los distintos $V_i$ y los grados de esos $V_i$ .

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Un buen ejemplo en el que pensar es el caso de una curva cúbica retorcida en $\mathbb P^3$ (con coordenadas hom. $X,Y,Z,W$ ). Se obtiene intersectando primero las cuadriculas $V(X^2 - YW)$ y $V(XZ - Y^2)$ . Esta intersección es un grado $4$ curva que es reducible; es la unión de una línea $L$ (la línea cortada por $X = Y = 0$ ) y la curva cúbica retorcida $C$ . Para recortar $C$ tenemos que imponer la ecuación adicional $X^3 - ZW^2 = 0$ .

Answer 2

Una variedad $X$ en $\mathbb P^n_k$ de codimensión $r$ generado por $r$ formas se denomina intersección completa . Equivalentemente, $X$ está definida por una secuencia regular $f_0,\ldots,f_r$ de elementos (homogéneos) de $k[x_0,\ldots,x_n].$ Es bien sabido que el complejo de Koszul asociado a una secuencia regular $(f_0,\ldots,f_r)$ es una resolución libre del anillo de coordenadas $k[x_0,\ldots,x_n]/(f_0,\ldots,f_r)$ y nos permite calcular el polinomio de Hilbert de $X.$ Además, se puede demostrar que el polinomio de Hilbert sólo depende de los grados de $f_0,\ldots,f_r$ y su coeficiente principal es $d_0\cdots d_r/(n-r)!,$ donde $d_i$ es el grado de $f_i,$ por lo que en este caso el grado de $X$ es $d_0\cdots d_r.$

Si $X$ no es una intersección completa, entonces el complejo de Koszul de las ecuaciones definitorias no será exacto, y por tanto no determina el polinomio de Hilbert, aunque no estoy seguro de lo mal que se puede comportar el grado en este caso.