¿El axioma de Huntington se desprende de $x \vee x = x$ y $\neg \neg x = x$ ?

Question

Consideremos las álgebras con los siguientes axiomas además de la conmutatividad y asociatividad: $$x \vee x=x$$ $$\neg \neg x = x$$

¿El axioma de Huntington ( $\neg (\neg x \vee y) \vee \neg (\neg x \neg y) = x$ ) se desprende de los axiomas? Si sí, demuéstrelo mostrando cómo los axiomas lo implican, si no, dé una interpretación que contradiga, pero que satisfaga los axiomas anteriores junto con los axiomas de conmutatividad y asociatividad.

Esta es una tarea para mi clase de inteligencia artificial, pero no tengo ni idea de por dónde empezar. ¿Podríais darme algunos consejos?

Answer 1

En base a los comentarios creo que ya tengo la solución:

Definamos $\neg x = x$ que es coherente con $\neg \neg x = x$ y que $x \vee x$ sea la operación lógica AND, que es asociativa, conmutativa y $x$ Y $x=x$ se mantiene.

Ahora trabajemos con el axioma de Huntington: $$\neg (\neg x \vee y) \vee \neg (\neg x ∨ \neg y) = x$$ Utilizando $\neg x = x$ nos encontramos con que: $$(x \vee y) \vee (x ∨ y) = x$$ A continuación, aplicando $x \vee x = x$ produce $$(x \vee y) = x$$

Pero para la operación lógica AND si $x$ es verdadera y $y$ es falso $x$ Y $y$ es falso, y que a se contradice con el resultado. Así que encontramos un contraejemplo, y eso significa que el axioma de Huntington no se sigue de los axiomas dados.