Encontrar todos los elementos idempotentes en el álgebra de grupo $\mathbb CC_3$

Question

Lo siento pero soy bastante nuevo en las álgebras de grupo e incluso en Latex así que si todo esto está mal pido disculpas. Por $\mathbb CC_3$ Me refiero al álgebra de grupo del grupo cíclico de orden 3 en los números complejos

Un grupo de álgebra es un anillo por lo que es mejor decir $C_3$ tiene elementos $e$ , $a$ y $b$ en lugar de pensar que C3 tiene un generador g porque la acción del grupo se escribiría + y si dijéramos $C_3$ tenía elementos $e$ $g$ y $2g$ que es bastante ambiguo porque en $\mathbb CC_3$ $2g$ significa algo muy diferente, ¿verdad? Del mismo modo, si escribimos la relación binaria del grupo de forma multiplicativa y decimos $C_3$ tenía elementos $e$ , $g$ y $g^2$ que también sería problemático porque estamos trabajando en un anillo con + y *, ¿no? (aunque en este ejemplo específico funcionaría bien ya que $2*2=2+2$ )

pero lo que quiero decir es que si los elementos son $e$ (la identidad), $a$ y $b$ Pensamos en ellos como e=0, a=1 y b=2 con suma y multiplicación mod 3 ¿sí? Es que soy reacio a llamar realmente a los elementos 0,1,2 porque quedaría algo confuso en el álgebra de grupos, ¿no?

Cuando decimos que $\mathbb CC_3$ es un álgebra de grupo queremos decir que es sólo un conjunto de combinaciones lineales finitas de la forma $Ae + Ba + Cb$ donde $A,B,C$ pertenecen al conjunto de los números complejos, ¿verdad? Los coeficientes $A,B,C$ de ninguna manera "significa" nada con respecto al grupo, ¿verdad? (por ejemplo, no hay manera de que $Ba=b$ para algunos $B in C$ (por ejemplo, B=2), ¿verdad? $A. B and C$ son sólo símbolos del campo de los números complejos y eso es todo, ¿verdad?

¿Cómo se podría encontrar todos los elementos idempotentes de este álgebra de grupo? ¿Cómo se sabe que se han encontrado todos? ¿Simplemente se resuelve: $$(Ae + Ba + Cb)(Ae + Ba + Cb)=(Ae + Ba + Cb)$$ lo que implica B=1 o 0 mirando un coeficiente, etc.?

Answer 1

También puede invocar el teorema del resto chino para encontrar todos los idempotentes. Deje que$\omega := \frac 1 2 (i \sqrt{3} -1)$ sea una tercera raíz primitiva de la unidad. Hay isomorfismos canónicos.

$\mathbb{C} C_3 \cong \mathbb{C}[X]/(X^3-1) \cong \mathbb{C}[X]/(X-1) \times \mathbb{C}[X]/(X-\omega) \times \mathbb{C}[X]/(X-\omega^2) \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C} \times \mathbb{C}$.

Ahora puede encontrar fácilmente todos los idempotentes de$\mathbb{C}^3$ y luego obtener los de$\mathbb{C} C_3$ aplicando cada isomorfismo. Tenga en cuenta que dado que los isomorfismos son$\mathbb{C}$ - lineal, es suficiente considerar una base de$\mathbb{C}^3$.

Answer 2

He adoptado el enfoque que mencionas. Si $a$ es un generador de $C_3$ y $x,y,$ y $z$ son números complejos, entonces la ecuación $(x\cdot e+y\cdot a+z\cdot a^2)^2=x\cdot e+y\cdot a+z\cdot a^2$ da el siguiente sistema:

$$x^2+2yz=x\\y^2+2xz=z\\z^2+2xy=y$$

Puedes resolver esto a mano si quieres, pero Wolfram|Alpha da $8$ soluciones .

Imagino que hay una forma mejor de hacerlo.