Considere $(T, \tau)$ un espacio topológico. Consideremos ahora $\sim_1,\sim_2$ relaciones de equivalencia en T. Llamemos a $\sim_3= (\sim_1 \vee \sim_2$ )
¿Es siempre cierto que ese cociente topológico $(T/\sim_3)$ es omeomorfo a $(T/\sim_1)/\sim_2$ ?
Sé perfectamente que $\sim_2$ no tiene sentido en $(T/\sim_1)$ pero espero que lo que quiero decir esté claro.
Para $x\in T$ dejar $[x]$ sea el $\sim_1$ -clase de equivalencia de $x$ . Dejemos que $R$ sea la relación sobre $T/\sim_1$ definido por $$[x]\mathbin{R}[y]\quad\text{iff}\quad u\sim_2v\text{ for some }u\in[x]\text{ and }v\in[y]\;,$$ y que $\sim_4$ sea el cierre transitivo de $R$ ; $\sim_4$ es una relación de equivalencia en $T/\sim_1$ . Sospecho que está preguntando si $T/(\sim_1\lor\sim_2)$ es homeomorfo a $(T/\sim_1)/\sim_4$ ; al menos, esa es la interpretación más razonable de $(T/\sim_1)/\sim_2$ que se me ocurra, y si te refieres a otra cosa, la respuesta probablemente sea no, no son homeomórficos .
Fijar $x,y\in T$ Entonces $x\sim_3y$ si existe una cadena $x=x_0\sim_1 x_1\sim_2 x_2\sim_1\ldots\sim_2x_{2n}=y$ . También tenemos $[x]\sim_4[y]$ si existe una cadena $[x]=[x_0]\mathbin{R}[x_1]\mathbin{R}\ldots\mathbin{R}[x_n]=[y]$ .
Supongamos que $[x]\sim_4[y]$ con $[x]=[x_0]\mathbin{R}[x_1]\mathbin{R}\ldots\mathbin{R}[x_n]=[y]$ . Entonces hay $u_k\in T$ para $k=0,\dots,n-1$ y $v_k\in T$ para $k=1,\dots,n$ tal que $x_k\sim_1u_k\sim_2v_{k+1}\sim_1x_{k+1}$ para $k=0,\dots,n-1$ . De ello se desprende que
$$x=x_0\sim_1u_0\sim_2v_1\sim_1u_1\sim_2v_2\sim_1u_2\sim_2\ldots\sim_2v_{n-1}\sim_1u_{n-1}\sim_2v_n\sim_1x_n\sim_2x_n=y$$
y por lo tanto que $x\sim_3y$ .
A la inversa, supongamos que $x\sim_3y$ con $x=x_0\sim_1 x_1\sim_2 x_2\sim_1\ldots\sim_2x_{2n}=y$ . Entonces
$$[x]=[x_0]\mathbin{R}[x_2]\mathbin{R}[x_4]\mathbin{R}\ldots\mathbin{R}[x_{2n}]=[y]\;,$$
así que $[x]\sim_4[y]$ .
En resumen, $x\sim_3y$ si $[x]\sim_4[y]$ . A partir de aquí debería poder demostrar que $T/\sim_3\cong(T/\sim_1)/\sim_4$ .
Dejemos que $f\colon X\to Y$ y $g\colon Y \to Z$ sean mapas cotizados.
Entonces $g \circ f$ es un mapa cociente:
Es continua porque la composición de funciones continuas es continua.
Dejemos que $U\subseteq Z$ .
$$(g\circ f)^{-1}[U] = f^{-1}[g^{-1}[U]],$$ por lo que si $(g\circ f)[U]$ está abierto, también lo está $g^{-1}[U]$ y esto es así $U$ .
¿Cuál es entonces la relación de equivalencia inducida por $g\circ f$ ?
$p \sim_{g\circ f} q$ si $g(f(p))=g(f(q))$
Para llegar más lejos, creo que tendrás que ser más específico sobre esas relaciones que has esgrimido.
Creo que hay un problema con su pregunta.
A menos que $\sim_1 \vee \sim_2$ significa algo así como "la relación de equivalencia generado por $\sim_1$ y $\sim_2$ ", literalmente la "unión" $\sim_3$ de dos relaciones de equivalencia no tiene por qué ser una relación de equivalencia. En concreto, la transitividad podría fallar porque
$$ x \sim_1 y \qquad \text{and} \qquad y \sim_2 z \qquad \text{doesn't imply} \qquad x \sim_1 z \qquad \text{or} \qquad x \sim_2 z \ . $$
Por esta razón, $\sim_2$ no induce necesariamente una relación de equivalencia bien definida en el espacio cotizante $T/\! \!\sim_1$ . Si trata de definir $\sim_2$ en las clases $\widetilde{x}, \widetilde{y} \in T/\! \!\sim_1 $ ya que probablemente sería su primera suposición,
$$ \widetilde{x} \sim_2 \widetilde{y} \qquad \Longleftrightarrow \qquad x \sim_2 y $$
hay que enfrentarse al problema de que, si se toman diferentes representantes de las clases $ x'\in\widetilde{x}$ y $ y'\in \widetilde{y} $ , habiendo
$$ x \sim_1 x' \ , \quad y \sim_1 y' \qquad \text{and} \qquad x \sim_2 y $$
no implica que se obtenga
$$ x' \sim_2 y' \ . $$
Eso es, $\sim_2$ puede no estar bien definida en $\sim_1$ -clases. Así que no se puede hablar del cociente $(T/\!\!\sim_1)/\!\!\sim_2$ .
¿O me estoy perdiendo algo?
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