Sea$f$ un polinomio en$n$ variables y$G$ - su grupo de simetrías (grupo de permutaciones de variables que dejaron$f$ en lugar). Estoy intentando$f$ para un grupo determinado$G$. Tengo problemas cuando$G\subset S_5$ es un grupo cíclico de quinto orden. Tengo un polinomio de quinto grado (por ejemplo,$x_1^2x_3x_4x_5+x_2^2x_1x_4x_5+x_3^2x_1x_2x_5+x_4^2x_1x_2x_3+x_5^2x_2x_3x_4$). ¿Es posible encontrar dicho$f$ con un grado más bajo?
Respuesta
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Ciertamente, $f$ no puede ser lineal: si $f = \displaystyle \sum_{i=1}^5 a_i x_i$ es invariante bajo permutación cíclica, a continuación, el $a_i = a$ todos debemos ser iguales entre sí y, a continuación, $f$ es invariante bajo todas las permutaciones.
$f$ puede ser cuadrática: vamos a $f = \displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i x_{i+1} + 2 x_i x_{i+2})$ donde los índices son considerados $\bmod 5$.
La cuestión general de si tales polinomios siempre existen pueden ser tratados usando la teoría de la representación. El problema se reduce a mostrar que la si $G$ es un grupo finito que actúa sobre un espacio vectorial $V$ $H$ es un buen subgrupo de $G$, entonces existe algún $d$ tal que $\dim S^d(V)^G$ es estrictamente menor que $\dim S^d(V)^H$, y este es un corolario de Molien del teorema. Uno, a continuación, se aplica este teorema a algún grupo fijo $H \subseteq S_n$ donde $V$ es la permutación de la representación de $S_n$, e $G$ ejecuta a través de todos los mínimos subgrupos de $S_n$ correctamente contengan $H$.
