¿Existe un espacio de Banach sin subespacios cerrados complementados?

Question

Sé que cada espacio de Hilbert se puede descomponer como la suma directa de dos subespacios cerrados no triviales, por ejemplo. tomando el núcleo y rango de cualquier proyección acotada no trivial. Pero no sé qué pasa en los espacios de Banach.

¿Existe un espacio Banach$B$ sin subespacios cerrados complementados? En otras palabras, ¿tal que no existan subespacios cerrados$U,V\subset B$ con$B=U\oplus V$?

Answer 1

Finito-dimensional subespacios son siempre complementada; esto se deduce de la de Hahn–Banach teorema.

Prueba. Deje $F$ ser finito-dimensional subespacio de un espacio de Banach $X$ y deje $\{x_1, \ldots, x_n\}$ ser una base para $F$. Elija $f_1, \ldots, f_n\in F^*$ a ser el de coordinar funcionales de base para la $\{x_1, \ldots, x_n\}$. Uso el de Hahn–Banach teorema de extender $f_j$ a delimitadas lineal funcionales en $X$; llamar a cualquier extensión de $f_j$ ( $j\leqslant n$ ). Conjunto

$$Px = \sum_{j=1}^n \langle f_j, x\rangle x_j\quad (x\in X).$$

A continuación, $P$ es una proyección con ${\rm im}\, P=F$. ${ \rm \square}$

El no trivial de la variante de la pregunta es realmente acerca de la posibilidad de la no-trivial de descomposición en subespacios infinito-dimensional (los espacios que carecen de esta propiedad existe y se llama indecomposable espacios de Banach). Hay toda una industria con respecto a tales espacios y existen aún espacios con mayor propiedad, es decir, no son espacios cuya todas las dimensiones infinitas suspaces son indecomposale (el llamado hereditariamente indecomposable espacios).

Hay ejemplos de compacto, espacios de Hausdorff $K$ para que el espacio de Banach $C(K)$ es indecomposale. (Por supuesto, estos espacios no pueden ser hereditariamente indecomposale como $C(K)$ siempre contiene una copia de $c_0$ si $K$ es finito.)

Esta es una buena introducción a hereditariamente indecomposale espacios.