No, el libro no tiene ningún error de imprenta.
Primero déjeme darle un ejemplo para tener una imaginación de lo que está pasando. El ejemplo más simple de imaginar es el siguiente. Dejemos que $M_1$ ser el $x$ -eje en $ \mathbb {R}^3$ , $N_1$ ser el $y$ -eje, $K$ ser el $z$ -eje. Obviamente $M_1$ , $N_1$ y $K$ son subespacios mutuamente disociados de $ \mathbb {R}^3$ Ahora puedes ver que $M$ es el $x$ o $z$ avión y $N$ es el $y$ o $z$ avión. Y todas esas tres relaciones $K=M \cap N$ , $M_1=M \cap K^{ \perp }$ y $N_1=N \cap K^{ \perp }$ .
Pero ahora para probar a los dos últimos que tienes dudas sobre ellos. Lo haré por el $M_1$ y uno para el $N_1$ seguirá con la misma historia.
Primero considera que porque $M_1$ y $K$ están mutuamente desunidas, y también como $M=M_1+K$ ; $$ \left.\begin {array}{l} M_1 \subseteq M \\ M_1 \subseteq K^{ \perp } \end {array} \right\ } \Longrightarrow M^{ \perp } \subseteq M \cap K^{ \perp }$$
Ahora para la inclusión opuesta, elemento elegido y arbitrario en $M \cap K^{ \perp }$ digamos $v$ . Desde $v \in M=M_1+K$ podemos enderezarlo como $v=a+b$ donde $a \in M_1$ y $b \in K$ . Desde $v \in K^{ \perp }$ que tenemos para cada vector en $K$ digamos $k$ el producto interno de $v$ y $k$ debería ser cero. $$0= \langle a+b,k \rangle = \langle a,k \rangle + \langle b,k \rangle =0+ \langle b,k \rangle $$ Producto interno de $a$ y $k$ es cero porque $a$ está en $M_1$ y $M_1$ es un subconjunto de la terminación ortogonal de $K$ . Y ningún elemento de un espacio excepto el vector trivial $0$ es normal para ese espacio, así que para la ecuación $ \langle b,k \rangle =0$ se mantenga, tenemos que tener $b=0$ y esto muestra $v=a \in M_1$ . Así que mostramos $M \cap K^{ \perp } \subseteq M_1$ .
