Problema de integración extraño:$\ln(x+1)=\ln(2x+2)$?!

Question

Problema de integración extraño: al usar$(\ln[f(x)])'=\frac {f'(x)}{f(x)}$ obtenemos ese$\int \frac{2\,dx}{2x+2}=\ln(2x+2)$. Sin embargo,$\int \frac{2\,dx}{2x+2}= \int\frac{dx}{x+1}=\ln(x+1)$ usa la misma regla que antes.

¿Que esta mal aquí?

Answer 1

$\ln(2x+2) = \ln 2 + \ln(x+1)$ (asumiendo $x > -1$). Las antiderivadas solo se determinan hasta una constante aditiva.

Answer 2

Recuérdalo:

PS

Pero:

PS

donde$$\int \frac{2}{2x+2}dx \neq \ln(2x+2)$ es constante, entonces:

PS

Entonces, ambos cálculos son casi correctos, pero te olvidaste de la constante.

Answer 3

Nada está mal. Has encontrado dos antiderivadas diferentes de la misma función. Usted sabe que las antiderivadas solo se diferencian por una constante en cada intervalo donde se definen ... puede verificar que este es el caso en su cálculo.

Answer 4

Solo agrega un término constante y también observa que$\ln2$ también es una constante.