Soy auto-estudio de la Geometría Diferencial y he pedido aquí acerca de cómo describir las funciones de un colector, y ahora que estoy bastante seguro de que mis conclusiones acerca de que son correctos, he empezado a pensar en ¿cómo podemos calcular las derivadas parciales. Bueno, Spivak define en su libro que si $(x,U)$ es un gráfico en un suave colector $M$ e si $f : U \to \Bbb R$ es diferenciable, entonces podemos definir el $i$-th parcial con respecto a esta tabla:
$$\frac{\partial f}{\partial x^i}(p)=D_i(f\circ x^{-1})(x(p))$$
Esto es muy natural y muy bueno, pero empecé a pensar en maneras de calcular con esto. De hecho, estoy estudiando Spivak de la Geometría Diferencial de los libros, pero además de la teoría, estoy tratando de conseguir la manera de calcular las cosas. Así que mi pensamiento fue: a raíz de la pregunta que me he referido, si me puedo expresar cualquier función de $f : U \to \Bbb R$ como combinación de coordinar funciones con la costumbre de las funciones definidas en el real de la línea, entonces puedo llevar a cualquier parciales, si sé que los parciales de la coordenada funciones. De hecho, yo calcula de la siguiente manera:
$$\frac{\partial x^i}{\partial x^j}(p)=D_j(x^i \circ x^{-1})(x(p))$$
Pero he definido $x^i=I^i \circ x$ donde $I:\Bbb R^n \to \Bbb R$ es la identidad. Así tenemos que:
$$x^i\circ x^{-1}=(I^i\circ x)\circ x^{-1}$$
Pero la composición es asociativa, y desde $x : U\to \Bbb R^n$ $x^{-1} : x(U)\subset \Bbb R^n \to U $ tenemos que $x \circ x^{-1} : x(U)\subset \Bbb R^n \to \Bbb R^n$ y esto es sólo la identidad de $I$, por lo que el$(I^i \circ x)\circ x^{-1} = I^i$, por lo que
$$\frac{\partial x^i}{\partial x^j}(p)=D_jI^i(x(p))$$
Pero sabemos que $D_jI^i(q) = \delta_j^i$ independiente del punto, donde $\delta^i_j$ es la Delta de Kronecker. Así tenemos que:
$$\frac{\partial x^i}{\partial x^j}(p)=\delta_j^i$$
He demostrado igualmente que la derivada parcial en el colector es lineal, obedece a la regla del producto y que obedece a la regla de la cadena. Así que supongo que ahora se $M$ es una variedad de dimensión $2$, $U\subset M$ y que $(x,U)$ es un gráfico. A continuación, hemos de coordinar las funciones de $x^1$ $x^2$ y podemos expresar, por ejemplo, la siguiente función $f : U \to \Bbb R$ como:
$$f = \sin \circ (x^1 x^2)$$
Entonces tenemos que la parcial con respecto a $x^1$ por ejemplo:
$$\frac{\partial f}{\partial x^1}(p)=\cos(x^1(p)x^2(p))\frac{\partial (x^1 x^2)}{\partial x^1}(p)=\cos(x^1(p)x^2(p))\left(\frac{\partial x^1}{\partial x^1}(p)x^2(p)+x^1(p)\frac{\partial x^2}{\partial x^1}(p)\right)$$
Y utilizando el resultado he mostrado más arriba, me gustaría conseguir:
$$\frac{\partial f}{\partial x^1}(p)=x^2(p)\cos(x^1(p)x^2(p))$$
Así es realmente como este en el que podemos calcular las derivadas parciales en la práctica en los Colectores? Son todos mis conclusiones correctas?
Muchas gracias!
