Considere el conjunto$S=\left\{x^{n}\,\colon\, n\in\mathbb{N}\right\}$. (Tenga en cuenta que$x\in\mathbb{R}$) ¿Es este conjunto linealmente dependiente?
Pensándolo bien, queremos encontrar algunos valores no triviales$\lambda_{n}$ tales que$$\lambda_{1}x+\lambda_{2}x^{2} + \ldots + \lambda_{n}x^{n} + \ldots = 0.$$ In other words we want to find if $$\sum_{k=1}^{\infty}\lambda_{n}x^{n} = 0$$ for any $ \ lambda_ {n} \ not = 0 $ . Sin embargo no estoy muy seguro de cómo proceder.
Un enfoque que no implica diferenciación: es suficiente para demostrar que $$ f (x) = \ lambda_ {1} x + \ lambda_ {2} x ^ {2} + \ cdots + \ lambda_ {n} x ^ {n } = 0 \ implica \ lambda_i = 0 $$ Tenga en cuenta que si alguno de los$\lambda_i$ no es cero,$\lim_{x \to \infty} f(x)$ es$\infty$ o$-\infty$, dependiendo del signo del coeficiente del término no nulo de mayor grado. Si$|\lim_{x \to \infty} f(x)| = \infty$, entonces$f(x) \neq 0$.
Por lo tanto, si alguno de los$\lambda_i$ no es cero, entonces$f(x) \neq 0$. Por contrapositivo, la conclusión sigue.
Probablemente esté considerando el conjunto como un subconjunto del espacio vectorial de funciones reales en$\mathbb{R}$ (o funciones continuas, quizás, pero es lo mismo).
Un conjunto es linealmente independiente si y solo si un subconjunto finito es linealmente independiente, por lo que simplemente podemos mostrar que $$ \ {1, x, x ^ 2, \ dots, x ^ n \} $$ es linealmente independiente. Supongamos que$\lambda_0+\lambda_1x+\dots+\lambda_nx^n=0$ (es decir, la función de cero constante); este es un polinomio que tiene infinitas raíces, por lo que es el polinomio cero, que significa$\lambda_0=\lambda_1=\dots=\lambda_n=0$.
Supongo que está hablando de las funciones$b_n(x) = x^n$.
Supongamos que tiene$\alpha_k$ ($k=1,..,N$) tal que$f(x)=\sum_k \alpha_k b_k(x) = 0$ para todos$x$. Tenga en cuenta que$f^{(k)}(0) = 0$ para todos$k \in \mathbb{N}$.
No es difícil demostrar que$f^{(k)}(0) = k! \alpha_k $, de lo que se deduce que$\alpha_k = 0$. Por lo tanto, los$b_n$ son linealmente independientes.
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