Encuentra el valor mínimo de esta integral.

Question

Encuentre el valor mínimo de esta integral: para qué valor de$k > 1$ es \ [\ int_k ^ {k ^ 2} \ frac 1x \ log \ frac {x-1} {32} \; dx \] mínimo?

Después de aplicar Newton-Leibniz, obtuve$k = 3$ y luego hice la segunda prueba derivada, me dio un resultado positivo. ¿Entonces la respuesta es 3, pero quiero saber si hay una forma más inteligente / inteligente de hacerlo?

Answer 1

Deje que$I:(1, \infty) \to \mathbb{R}$ esté definido por $$ I (k) = \ int_k ^ {k ^ 2} \ frac {1} {x} \ log \ frac {x-1} {32} dx. $$ Luego $$ I '(k) = \ frac {2} {k} \ log \ frac {k ^ 2-1} {32} - \ frac {1} {k} \ log \ frac {k-1 } {32} = \ frac {1} {k} \ log \ frac {(k + 1) ^ 2 (k-1)} {32}. $$ Tenemos$I'(k)<0=I'(3)$ para$1<k<3$,$I'(k)>0=I'(3)$ para$k>3$, por lo tanto,$I(3)$ es el valor mínimo de$I(k)$ para$k>1$ .

Answer 2

$J=\int_k^{k^2}dx \frac{1}{x}\ln\frac{x-1}{32}=-\operatorname{dilog}(k)-\ln(\frac{k}{32}-\frac{1}{32})\ln(k)+\operatorname{dilog}(k^2)+\ln(\frac{k^2}{32}-\frac{1}{32})\ln(k^2)$ donde:$$\operatorname{dilog}(x)=\int_1^x \, dt \ln(\frac{t}{1-t})$ $ El derivado con respecto a$k$ es:$$\frac{\partial J}{\partial k}=-\frac{1}{k}[5 \ln(2)+\ln(k-1)-2\ln((k-1)(k+1))$ $ poniendo:$$\frac{\partial J}{\partial k}=0$ $ el resultado es$k=3$