¿Cómo se demuestra que solo hay finamente muchas extensiones de grado de$n$ de un campo local? Entiendo cómo esto se desprende de la teoría de campo de clase en el caso abeliano, pero no entiendo cómo hacer el caso no abeliano.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En mi comentario, me dijo que había un argumento de compacidad, pero pensando un poco más, me di cuenta de que, dado que el conjunto de polinomios irreducibles sobre el anillo de los enteros $\mathfrak o$ de su campo no está cerrado, el enfoque sería un poco más complicado de lo que yo esperaba.
En su lugar, vamos a hacerlo por etapas; estoy seguro de que hay un argumento más rápido de lo que doy a continuación, pero no estoy recordando ahora.
No es la Clase de Teoría de Campo, es Kummer Teoría en su mayoría. Me voy a dar una prueba para las extensiones de $\Bbb Q_p$, y habrá modificaciones necesarias para que la función de campo de caso. Te voy a mostrar que hay sólo un número finito de extensiones de Galois de grado $n$; el caso general sigue de esto. En primer lugar, observe que sólo hay una unramified extensión de degreee $n$, por lo que puede concentrarse totalmente en ramificado extensiones.
En caso estamos hablando de grado $n$ primer a $p$, entonces la Ramificación de la Teoría dice que el grupo de Galois es inyectado en $\kappa^*$ donde $\kappa$ es el residuo de campo; en particular, el grupo de Galois es cíclico. Ahora ampliar la base de su original $p$-ádico de campo $k$ para el campo $k'$ que se obtiene por contigua a la $n$-th raíces de la unidad. Ahora estamos hablando de una extensión cíclica de grado $n'$ dividiendo $n$, y estos están en una correspondencia uno a uno con los subgrupos de ${k'}^*/({k'}^*)^{n'}$, sólo un número finito de la causa de la $n$-ésima potencia de mapa abierto (aquí es uno de los lugares donde el hecho de que el ámbito local se usa).
Ahora, para el caso de que la extensión es de grado $p^m$ algunos $m$. Al igual que antes, voy a pasar a la situación en la que el campo base $k$ $p$- th raíces de la unidad. Usted tiene un $p$-grupo, por lo que una composición de la serie, donde cada factor es $C_p$, cíclico de orden $p$. Kummer teoría de nuevo, el número de extensiones de grado $p$ es finito, cada uno de estos tiene sólo un número finito de extensiones de grado $p$, etc. Un número finito de en todos los.
Esos son los argumentos de las distintas capas. Sólo tengo que decir que la máxima confiando inocentemente se ramifica a la extensión de su plan general de extensión de grado $n$ es de Galois sobre la base, y todo funciona.
Tal vez alguien más tiene un impermeable de la prueba; le daría la bienvenida.
