$P(z)=0$ fib $Q(z)=0$, $P(z)=1$ iff $Q(z)=1$. Demostrar que $P(x)=Q(x)$ todos los $x$

Question

Suponga $P(x)$ $Q(x)$ son polinomios con coeficientes complejos con grado igual o superior al $1$ tal que $P(z)=0$ si y sólo si $Q(z)=0$, $P(z)=1$ si y sólo si $Q(z)=1$. Demostrar que $P(x)=Q(x)$ todos los $x\in \mathbb{C}$.

No tengo idea de para este problema. La única cosa que puedo decir es $P(x)$ $Q(x)$ comparten las mismas raíces.

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Deje $deg(P)=n>0$ y suponer sin pérdida de generalidad que $deg(Q) \leq deg(P)$. Considere el polinomio $R=(P-Q)P'$ ($P'$ denotar la derivada de $P$). Tenemos : $$deg(R)\leq 2n-1 $$

Ahora si $r$ es una raíz de multiplicidad $k$ $P$ $r$ es una raíz de $P'$ de la multiplicidad $k-1$ y porque $Q(r)=0$, $r$ es una raíz de $P-Q$. por lo tanto $r$ es una raíz de $R$ de la multiplicidad, al menos,$k$. De modo que el n ceros de $P$ produce, al menos, $n$ ceros de $R$, cuando multiplicidades son contados.

El mismo patrón se puede aplicar a $P-1$, cada raíz $r$ de la multiplicidad $k$ $P-1$ es una raíz de $P-Q$ y una raíz de multiplicidad $k-1$$(P-1)'=P'$. De modo que el n ceros de $P-1$ produce, al menos, otro $n$ ceros de $R$ cuando multiplicidades son contados. (los ceros de $P$ son todos diferentes con los ceros de $P-1$ es obvio).

Esto significa que $R$ tiene al menos $2n$ raíces y porque $deg(R)\leq 2n-1 $ llegamos a la conclusión de que $R=0$, lo que implica $P=Q$.