Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo, $x \in R$ , $I$ sea un ideal tal que $I+\langle x \rangle $ y $(I:x):=\{r \in R : rx \in I\}$ son ambos ideales principales. Entonces es $I$ ¿también es un ideal principal?
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Digamos que escribimos $I+(x)=(a)$ y que $(I:x)=(b)$ para que sea adecuado $a, b \in R$ . Desde $(I: I + (x)) = (I:x)$ tenemos que $(I:a) = (b)$ también. Afirmamos que $I=(ab)$ .
Prueba de reclamación: Dejemos que $i \in I$ . Entonces, tenemos que $i=ra$ para algunos $r \in R$ . Desde $ra \in I$ observamos que $r \in (I:a)=(b)$ . En particular, $r=sb$ para algunos $s \in R$ . Ahora observamos que $i=sba=sab$ , como $R$ es conmutativo. Por lo tanto, $I \subseteq (ab)$ . Ahora, a través de la inclusión trivial, $(I+(x)) \cdot (I:(I+(x)) \subseteq I$ observamos que $ab \in I$ Así que.., $(ab) \subseteq I$ . ¡Ya hemos terminado!
(Esto se puede utilizar para deducir que un ideal maximal con respecto a no ser principal es primo. En particular, si todo ideal primo en un anillo conmutativo es principal, entonces, también lo es cada ideal).
Dejemos que $J:=(I,x)=I+\langle x \rangle =(c)$ y $(I:x)=(d)$ . Dejemos que $i\in I \subseteq J$ para que $i=uc$ para algunos $u \in R$ entonces $urc \in I, \forall r \in R$ Así que $u(c)=uJ \subseteq I$ Así que $ux \in I$ Así que $u \in (I:x)=(d)$ Así que $u=vd$ Por lo tanto $i=uc=vdc \in (cd)$ Así que $I \subseteq (cd)$ . Para la inclusión inversa, $d \in (I:x) \implies dx \in I$ y también $dI \subseteq I$ Así que $dJ=d(I+\langle x \rangle)\subseteq I$ para que $d(c) \subseteq I$ para que $dc=cd \in I$ Por lo tanto $(cd) \subseteq I$ . Por lo tanto, concluimos que $(cd)=I$ .
