La función zeta de Riemann y el volumen de la unidad$n$ - bola

Question

El volumen de una unidad$n$ - bola dimensional (en el espacio euclidiano) es

PS

La función zeta de Riemann completada, o la función xi de Riemann, es

PS

Salvo para el$$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\frac{n}{2}\Gamma(\frac{n}{2})}$, el factor extra es exactamente el inverso de$$\xi(s) = (s-1) \frac{\frac{s}{2}\Gamma(\frac{s}{2})}{\pi^{s/2}} \zeta(s)$.

¿Hay alguna explicación para esto, o es solo una coincidencia graciosa?

Answer 1

Cuando se demuestra que la ecuación funcional, generalmente comenzamos por probar el Mellin transformar $$\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\pi^{-s/2}\zeta(s)=\int_{0}^{\infty}\psi(x)x^{s/2-1}dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$ donde $$\psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi n^{2}x}.$$ Aquí es donde el factor de $\Gamma(s/2)\pi^{-s/2}$ viene de, y esto puede ser probado por escrito la definición de $\Gamma(s/2)$, haciendo un cambio de variable, y sumando más de $n$. En cambio, cuando se $k$ es un número entero, podemos demostrar esta identidad en una forma diferente en la que deja claro que este factor de $\Gamma(s/2)\pi^{-s/2}$ realmente es $A_{k-1}/2$ donde $A_{k-1}$ es el área de la superficie de la $k$-dimensiones de la bola.

Tenemos que

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi n^{2}x^{2}}dx=\frac{1}{n},$$ y por lo $$\zeta(k)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{k}}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi n^{2}(x_{1}^{2}+\cdots+x_{k}^{2})}dx_{1}\cdots dx_{k}.$$ El cambio a coordenadas esféricas y dejando $r^{2}=x_{1}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}$, una concha de radio $r$ tiene el tamaño de $A_{k-1}r^{k-1}$ y por lo $$\zeta(k)=A_{k-1}\int_{0}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\pi n^{2}r^{2}}r^{k-1}dr,$$ y, a continuación, dejando $t=r^{2},$ entonces tenemos que $$\frac{2\zeta(k)}{A_{k-1}}=\int_{0}^{\infty}\psi(t)t^{k/2-1}dt.$$

De hecho, si se combina esto con la prueba usual de la ecuación de $(1)$, esto proporciona una prueba del hecho de que $$A_{k-1}=\frac{2\pi^{k/2}}{\Gamma(k/2)}.$$