Estoy tratando de aprender cómo aplicar local de campo de clase de teoría y pensé acerca de tratar de enumerar algunas de bajo grado abelian extensiones de $\mathbb{Q}_p$. El caso más fácil es la cuadrática extensiones es decir, el ciclo de las extensiones de grado 2. Pero aquí no hay locales de campo de la clase de teoría que se necesita como cuadráticas son fáciles de clasificar trabajando directamente con los polinomios y, finalmente, contar el índice del subgrupo de plazas.
Mi pregunta es cómo hacer el ciclo de grado 3 caso? Sé que clase de teoría del campo me da un isomorfismo
$\mathbb{Q}_p^\times/\textrm{Nm}_{K/\mathbb{Q}_p}(K^\times)\to \textrm{Gal}(K/\mathbb{Q}_3)\simeq C_3.$
Por lo tanto, de alguna manera, la lista de los abelian extensiones de grado 3, yo tendría que ser capaz de alguna manera de clasificar el abierto de los subgrupos de índice 3 en $\mathbb{Q}_p^\times$. ¿Hay alguna manera sencilla de hacerlo o es que hay un enfoque más sencillo para resolver el problema original? Supongo que podría ser difícil de escribir cada cíclica de grado 3 de la extensión, pero el hecho de saber el número de ellos ya ayuda.
¿Hay algún método simple que se extiende a la cíclica o diedro extensiones de grado 4?
