¿Qué es exactamente la Transformación Integral de la Probabilidad?

Question

He estado repasando mis apuntes de la clase de Estadística y me encontré con la Transformación Integral de la Probabilidad. Desde mi limitada comprensión, la idea básica es que de un cdf en términos de una variable, puede ser transformado en otro cdf en términos de una variable diferente:

• es decir, de $F_x(x)$ a --> $F_y(y)$

¿Esta comprensión es correcta? ¿Cuál es el propósito de esto? Por último, ¿hay un procedimiento general para realizar la transformación?

Answer 1

Su comprensión me parece básicamente correcta.

En cuanto a la finalidad, he visto que se utiliza sobre todo para generar variables aleatorias a partir de distribuciones continuas. Por ejemplo, si $X$ tiene un $U(0,1)$ distribución, entonces $F_X(x) = x$ . Por lo tanto, el requisito $F_X(x) = F_Y(y)$ en la transformada integral de probabilidad se reduce a $x = F_Y(y)$ o $y = F_Y^{-1}(x)$ . Desde $y$ es una observación de la distribución de probabilidad $Y$ Esto significa que podemos generar observaciones a partir de la distribución $Y$ generando $U(0,1)$ variables aleatorias (que la mayoría de los programas de software pueden hacer fácilmente) y aplicando la $F_Y^{-1}$ transformación.

Por ejemplo, supongamos que queremos generar instancias de un exponencial $(\lambda)$ variable aleatoria. La fdc es $$F(y) = \int_0^y \lambda e^{-\lambda t} dt = 1 - e^{-\lambda y}.$$ Resolver para $y$ tenemos $$F(y) - 1 = - e^{-\lambda y} \Rightarrow -\lambda y = \ln (1- F(y)) \Rightarrow y = F^{-1}(x) = -\ln(1-x)/\lambda.$$

Por lo tanto, si $x$ es una observación de un $U(0,1)$ distribución, entonces $y = -\ln(1-x)/\lambda$ es una observación de un exponencial $(\lambda)$ distribución. Además, $x$ teniendo un $U(0,1)$ es equivalente a $1-x$ teniendo un $U(0,1)$ por lo que a menudo expresamos la transformación como $y = -\ln x/\lambda$ .

En cuanto a un procedimiento general para realizar la transformación, lo que he hecho aquí con las distribuciones uniforme y exponencial debería darte una guía. Sin embargo, por desgracia, no hay muchas distribuciones de uso común para las que la CDF se pueda invertir analíticamente.