Extensión analítica para una función definida en $\mathbb{N}$

Question

Me gustaría saber si es posible extender analíticamente cualquier función del tipo $f:\mathbb{N} \to \mathbb{C}$ a todos los planos complejos. Si no es posible, ¿qué debo suponer para hacerlo? Si

Sólo un ejemplo: el número de función de los divisores de $n$ .

EDITORIAL: ¿Es único?

Answer 1

La respuesta es sí. Primero, ponga $$p_n(z)=\frac{(z-1)(z-2)\cdots(z-n+1)}{(n-1)!}$$ y tenga en cuenta que $p_n(k)=0$ para $k=1,2,\ldots,n-1$ mientras que $p_n(n)=1$ . Ahora deja $$ f(z)=\sum_{n=1}^\infty b_ne^{a_n(z-n)}p_n(z),\qquad b_n=f(n)-\sum_{k=1}^{n-1}b_ke^{a_k(n-k)}p_k(n). $$ Sólo asegúrate de que $a_n>0$ es lo suficientemente grande para que, digamos, $$|f(n)e^{a_n(z-n)}p_n(z)|<2^{-n}$$ para todos $z$ con $|z|\le n-1$ . Entonces la serie converge uniformemente en cada conjunto delimitado.