$X$ es Hausdorff si y solo si la diagonal de $X\times X$ está cerrada

Question

Sea $X$ un espacio topológico. La diagonal de $X \times X$ es el subconjunto $$D = \{(x,x)\in X\times X\mid x \in X\}.$$
Demuestra que $X$ es Hausdorff si y solo si $D$ es cerrado en $X \times X.

Primero, intenté mostrar que $X \times X \setminus D$ es abierto usando el hecho de que $X \times X$ es Hausdorff (porque $X$ es Hausdorff), pero no pude encontrar un conjunto abierto que contenga un punto fuera de $D$ y sea disjunto de él...

Answer 1

Tienes dos cosas que mostrar: que si $D$ está cerrado, entonces $X$ es de Háusdorff, y que si $X$ es de Háusdorff, entonces $D$ está cerrado.

Supongamos primero que $D$ está cerrado en $X\times X$. Para mostrar que $X$ es de Háusdorff, debes demostrar que si $x$ e $y$ son cualquier par de puntos de $X$, entonces existen conjuntos abiertos $U$ y $V$ en $X$ tales que $x\in U$, $y\in V$ y $U\cap V=\varnothing$. El truco consiste en mirar el punto $p=\langle x,y\rangle\in X\times X$. Debido a que $x\ne y$, $p\notin D$. Esto significa que $p$ está en el conjunto abierto $(X\times X)\setminus D$. Por lo tanto, debe existir un conjunto abierto básico $B$ en la topología del producto tal que $p\in B\subseteq(X\times X)\setminus D$. Los conjuntos abiertos básicos en la topología del producto son cajas abiertas, es decir, conjuntos de la forma $U\times V$, donde $U$ y $V$ son abiertos en $X$, así que sea $B=U\times V$ para esos $U,V\subseteq X$. ¿Puedes ver cómo usar esto para obtener los vecindarios abiertos deseados de $x$ e $y$?

Ahora supongamos que $X$ es de Háusdorff. Para mostrar que $D$ está cerrado en $X\times X, solo necesitas demostrar que$(X\times X)\setminus D$ es abierto. Para hacer esto, solo toma cualquier punto $p\in(X\times X)\setminus D$ y muestra que tiene un vecindario abierto disjunto de $D$. Sugiero que intentes revertir lo que hice arriba. Primero, $p=\langle x,y\rangle$ para algunos $x,y\in X$, y dado que $p\notin D$, $x\ne y$. Ahora utiliza vecindarios abiertos disjuntos de $x$ e $y$ para construir una caja abierta básica alrededor de $p$ que esté disjunta de $D$.

Answer 2

Hay un problema relacionado:

Sean $f,g:A\to B$ dos aplicaciones continuas, donde $B$ es un espacio de Hausdorff y $A$ es un espacio arbitrario. Entonces, el conjunto $C(f,g)=\{x\in A| f(x)=g(x)\}$ es el conjunto de coincidencias de $f$ y $g$. Demuestra que $C(f,g)$ es cerrado.

Para probar esto, para cada punto $x_0$ que no está en $C(f,g)$, $y_f=f(x_0)$ y $y_g=g(x_0)$ son dos puntos distintos en $B$, ya que $B$ es Hausdorff, se obtienen dos vecindarios abiertos disjuntos $U(y_f)$ y $U(y_g)$, como $f,g$ son continuas, $O=f^{-1}(U(y_f))\cap g^{-1}(U(y_g))$ es un abierto en $A$. Se puede verificar que $O$ es un vecindario de $x_0$ disjunto de $C(f,g)$, ya que si $c\in C(f,g)$ y $c\in O$, entonces $c\in f^{-1}(U(y_f))$ y $c\in g^{-1}(U(y_g))$, lo cual significa que $f(c)=g(c)$ está en ambos $U(y_f)$ y $U(y_g)$, lo cual es imposible porque los dos vecindarios son disjuntos.

Tomando $A=X\times X$, $B=X$, $f=\pi_1$, $g=\pi_2$ como las aplicaciones de proyección, se obtiene el resultado deseado.

Espero que esto pueda ilustrar el problema que planteas.

Answer 3

Sea $(x,y)\in X\times X$, con $x\neq y$. Dado que $x,y\in X$, $x\neq y$ y $X$ es Hausdorff, existen los conjuntos abiertos $\mathcal{U}$ y $\mathcal{V}$ tales que $x\in\mathcal{U}$, $y\in\mathcal{V}$ y $\mathcal{U}\cap\mathcal{V}=\varnothing$. Ahora, $\mathcal{U}\times\mathcal{V}$ es un subconjunto abierto de $X\times X$. Contiene $(x,y). ¿Se intersecta con$D$?

Recíprocamente, supongamos que $D$ es cerrado, y sean $x,y\in X$, $x\neq y$. Entonces $(x,y)\notin D$, por lo que existe un subconjunto abierto $\mathscr{O}$ tal que $(x,y)\in\mathscr{O}\subseteq X\times X - D. ¿Sabes algo sobre conjuntos abiertos de un tipo especial en$X\times X$que pueda permitirte obtener conjuntos abiertos de$X\mathcal{U}$y$\mathcal{V}$ como en el párrafo anterior?

Answer 4

Sea X Hausdorff, entonces si $x\ne y$ existen vecindarios $V_x$ y $V_y$ tales que $V_x \cap V_y = \emptyset$. Por lo tanto $V_x\times V_y \cap D=\emptyset$ y el complemento de $D$ es abierto. Ahora, asumamos que lo anterior es cierto. Entonces, para cualquier punto $(x,y)$, $x\ne y$, hay un conjunto abierto alrededor de él que no interseca a $D$. Por lo tanto, existen dos conjuntos $x\in V_x$ e $y\in V_y$ tales que $V_x\times V_y$ no interseca a $D$, por lo tanto $V_x \cap V_y = \emptyset.

Answer 5

$D$ está cerrado en $X\times X$ si y solo si $X\times X \setminus D$ es abierto en $X \times X si y solo si Para cualquier$x, y \in X$con$x≠y$existe un entorno$U$de$x, V$de$y$tal que$U\cap V$es vacío si y solo si$X$ es un espacio de Hausdorff