Para subespacios, si $N\subseteq M_1\cup\cdots\cup M_k$, $N\subseteq M_i$ algunos $i$?

Question

Tengo un espacio vectorial $V$ sobre un campo de característica $0$. Si $M_1,\dots,M_k$ son propias de los subespacios de $V$, e $N$ es un subespacio de $V$ tal que $N\subseteq M_1\cup\cdots\cup M_k$, ¿cómo puede usted decir $N\subseteq M_i$ algunos $i$?

Yo estaba tratando de mostrar que sólo en el caso de $N\subseteq M_1\cup M_2$, y la esperanza de extender a un número finito de $M_i$. Si cualquiera de las $M_i$ contiene el otro, la reivindicación de la siguiente manera, así que supongo que ni $M_i$ contiene a la otra.

En espera de una contradicción, supongo que $N\not\subseteq M_1$$N\not\subseteq M_2$, Recogiendo $x_1\in N\setminus M_1$$x_2\in N\setminus M_2$, tendría $x_1+x_2\in N\subseteq M_1\cup M_2$. La única cosa que yo podría llegar a la conclusión era que en realidad $x_1,x_2\notin M_1$$x_1,x_2\notin M_2$, lo que parece un callejón sin salida. ¿Cuál es la manera correcta de hacerlo?

Answer 1

En primer lugar demostrar que $M_1\cup M_2$ es un subespacio de $V$ si y sólo si $M_1\subseteq M_2$ o $M_2\subseteq M_1$.

Esto se extiende a través de la inducción a cualquier número finito de subespacios: si $M=M_1\cup\ldots\cup M_k$ es un subespacio de $V$, entonces hay algo de $i$ tal que $M=M_i$.

Próximo show que si $N\subseteq M_1\cup\ldots\cup M_k$ $N_i=N\cap M_i$ es un subespacio de $V$, y por lo tanto $N=N_1\cup\ldots\cup N_k$ e es un subespacio, por lo $N=N_i$ algunos $i$, lo $N\subseteq M_i$ como quería.

Answer 2

Recordemos que un espacio vectorial sobre un infinito campo no es una unión finita de una adecuada subespacios. Desde su campo escalar tiene características de las $0$, es necesariamente infinita, ya que contiene una isomorfo copia de$\mathbb{Z}$, por ejemplo.

Si $N\subseteq M_1\cup\cdots\cup M_k$, luego $$ N=(N\cap M_1)\cup\cdots\cup(N\cap M_k). $$ Visualización de $N$ como un espacio vectorial en su propio derecho, con $N\cap M_i$ subespacios de $N$, vemos que no puede ser apropiado. Así que para algunos $i$, $N\cap M_i=N$, por lo tanto $N\subseteq M_i$.

Answer 3

En este problema, puede intentar señalando que si $N$ no es un subconjunto de a $M_1$, entonces debe ser un subconjunto de a $M_2$. Te voy a dar algunos consejos sobre este:

• Desde $N \not \subset M_1$, entonces existe algún $x \in N \ \backslash \ M_1$.

• Usted debe notar que, desde la $N = M_1 \cup M_2$ (i.e, cada elemento de a $N$ debe pertenecer a cualquiera de los $M_1$ o $M_2$), y tenemos que, $x \in N \ \backslash \ M_1$, lo $x \in M_2$.

• Ahora, puede usted tratar de mostrar que para todos los $n \in N$, $n$ debe pertenecer a $M_2$? Sugerencia: Tome su suma, y considerar la posibilidad de 2 casos. ;)

Para mostrar que tiene no sólo para $k = 2$, pero para cualquier $k \in \mathbb{N} \ \backslash \ \{ 0 \}$, usted puede intentar el uso de la Prueba por Inducción. Caso $k = 1$ es trivial, y $k = 2$ ya se ha hecho, se puede seguir desde aquí? :)