Integrar una función a través de este conjunto de

Question

Problema: si $X$ es una medida infinita subconjunto de $\mathbb R$ $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es una función continua integrable sobre $X$ y todos sus traslaciones y rotaciones, es $f$ integrable sobre $\mathbb R$?

Tratando de encontrar un contraejemplo, se me ocurrió esto:

• $a_n=b_{n-1}+1$,
• $b_n=a_n+\frac1n$,
• $b_0=-1$,
• $X=\bigcup_{n=1}^\infty(a_n,b_n)$.

Qué $\int_Xe^xdx$ converge? ---edit: no

Hay alguna fácil contraejemplo?

Answer 1

Como se dijo antes, no convergen desde $a_n ≥ 0$ todos los $n ∈ ℕ$$\exp|_X ≥ 1$. Por lo tanto,$∫_X \mathrm{e}^x dx ≥ ∫_X dx = ∞$.

Bueno, la idea es utilizar la divergencia de $Σ_n \frac 1 n$ frente a la convergencia de $Σ_n \frac 1 {n^2}$.

Deje $f \colon ℝ → [0..1],\, x ↦ \min\{1,\frac 1 {|x|}\}$ $X = \bigcup_{k ∈ ℤ} I_k$ donde $I_k$ es el intervalo de reales entre $k$$k+\tfrac{1}{k}$. A continuación,$∫_ℝ f(x)dx = ∞$$∫_X f(x)dx \approx \sum_n \frac{1}{n^2} < ∞$, y esto probablemente no va a cambiar con las traducciones o reflexiones. Ahora, no puedo dar una prueba de ello sin necesidad de invertir demasiado tiempo porque no soy bueno en el análisis, pero estoy muy seguro de que esto funciona. Espero que le ayude.

(Si usted puede trabajar en esto, me gustaría ver todo el argumento.)