desigualdad cuadrática

Question

Tengo que hacer un procedimiento para la resolución algebraica de las desigualdades en el segundo ($x^2+bx+c>0$) de grado para mi estudiante. Sé que es posible resolver la desigualdad por factorización, la Solución de una desigualdad cuadrática, ver la primera respuesta por parte de Casebash. Yo intente con otro método.
($\Delta=\left(\frac{b}{2}\right)^2 +c$)

$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\Delta>0$

$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2>\Delta$

$\sqrt{\left(x+\frac{b}{2}\right)^2}\gtrless\pm\sqrt{\Delta}$

$x+\frac{b}{2}\gtrless\pm\sqrt{\Delta}$ y, a continuación, juntos,

$x+\frac{b}{2}>+\sqrt{\Delta}$ $x+\frac{b}{2}<-\sqrt{\Delta}$

$x>-\frac{b}{2}-\sqrt{\Delta}$ $x<-\frac{b}{2}-\sqrt{\Delta}$

Cómo explicar la $\pm$ a la derecha, pero no a la izquierda de la desigualdad? Estoy confundido porque $|a|=\sqrt{a^2}$.

Es posible aclarar la explicación? o es un callejón sin salida.

Answer 1

Es altamente indeseable para incluir a $\pm$ en una desigualdad. Usted está en lo correcto que $\sqrt{a^2}=|a|$ real $a$, pero parece que lo que usted está confundido acerca de lo que hay que hacer con una desigualdad que contiene un valor absoluto.

En el caso de que $\Delta<0$, entonces la desigualdad de $\left(x+\frac{b}{2}\right)^2>\Delta$ tiene para todos los verdaderos $x$, y hemos terminado.

En el caso de que $\Delta\geq 0$, a continuación, procedemos de la siguiente manera: $$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2>\Delta$$ $$\left|x+\frac{b}{2}\right|>\sqrt{\Delta}$$ $$x+\frac{b}{2}>\sqrt{\Delta}\quad \mathrm{or}\quad x+\frac{b}{2}<-\sqrt{\Delta}$$ $$x>-\frac{b}{2}+\sqrt{\Delta}\quad \mathrm{or}\quad x<-\frac{b}{2}-\sqrt{\Delta}$$

¿Que ayudan a aclarar las cosas?