La igualdad de los límites de

Question

Me da que $A \subset B \subset \mathbb{R}$, $A$ es abierto, $B$ está cerrado, y que $\partial A = \partial B$.

Puedo probar que a partir de esto que $B$ es igual a la de cierre de $A$ o es acotada o algunos más fuertes resultado relativo $A$$B$?

Bueno por lo que yo sé ahora que $\bar{A} \neq B$ en general. Es allí cualquier declaración que puedo decir acerca de ellos?

Answer 1

Aquí está un ejemplo que ilustra que lo que se sugiere en la pregunta no se sostiene, incluso, con una razonable hipótesis adicionales, siempre y cuando uno permite que la igualdad de los límites de ser infinito.

Deje $U=\bigcup_{n\in\Bbb N}U_n$ ser una unión de limitada abrir los intervalos de $U_n$ con distintos cierres, que se eligen de modo que $(-1)^n+(-\frac12)^n\in U_n$ todos los$~n$. A continuación,$\overline U$, por supuesto, también contiene el límite de puntos de todos los intervalos, pero también el límite de puntos de $-1$ $1$ que no son de esa forma. Ahora $C=\overline U\cup[-1,1]$ es otro conjunto cerrado con el mismo límite de $U$ (como $\overline U$), en particular, $\partial C$ contiene $\{-1,1\}$ ya que estos no son los puntos del interior de $C$.