Resolver funcional de la ecuación de $(x+y)(f(x)-f(y))=f(x^2)-f(y^2)$

Question

Encontrar todas las funciones reales,$f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, de modo que $(x+y)(f(x)-f(y))=f(x^2)-f(y^2)$.

Puede alguien, al menos, encontrar el valor de $f(1)$ si es posible, que me ayudaría.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, vamos a buscar soluciones a la ecuación de satisfacciones $f(0)=0$. La ecuación se convierte entonces en $$xf(x)=f(x^2),\ x\in \mathbb R. $$ Therefore $$(x+y)(f(x)-f(y))=f(x^2)-f(y^2)=xf(x)-yf(y),$$ from which we get (by expanding the LHS) $$yf(x)=xf(y) $$ for all $x,y\in \mathbb R$. Setting $y=1$ we see that all solutions are of the form $$f(x)=kx.$$

Answer 2

He cometido un error última vez. Ahora todo debería estar bien.

Poniendo y=0 obtenemos $f(x^2)=x(f(x)-f(0))+f(0)$. Poniendo eso en el primer eqation nos deja con $(x+y)(f(x)-f(y))=x(f(x)-f(0))+f(0)-y(f(y)-f(0))-f(0)$

$y f(x)-x f(y)=-f(0)(x-y)$

Con y=1, se obtiene: $f(x)-x f(1)=-f(0)(x-1) \Rightarrow f(x)=x(f(1)-f(0))+f(0)$ Si ponemos $f(1)-f(0)=a$ $f(0)=b$ y, a continuación, podemos escribir: $f(x)=ax+b$.