Dos conjeturas de cuatro plazas

Question

He encontrado una conjetura de los cuatro plazas desde hace dos meses. Pero no tengo una solución para la conjetura. Esta conjetura es buen resultado en la geometría Euclidiana. Espero que no es una solución:

Conjetura 1: Vamos a $A_iB_iC_iD_i$ $i=1,2,3,4$ ser de cuatro plazas en un avión, con $A_i \rightarrow B_i \rightarrow C_i \rightarrow D_i$ de todos los contadores de las agujas del reloj, (o todas de las agujas del reloj) por $i=1,2,3,4$. A continuación, mostrar que: $$Area(A_1A_2A_3A_4)+Area(C_1C_2C_3C_4)=Area(B_1B_2B_3B_4)+Area(D_1D_2D_3D_4)$$

Conjetura 2: Deje $O_X$ ser los centroides de $X_1X_2X_3X_4$ $X=A,B,C,D$ a continuación muestran que la $O_AO_BO_CO_D$ ser un cuadrado.

Answer 1

Acerca de los centroides conjetura: suponga que el $A_0 B_0 C_0 D_0$ es una unidad cuadrado centrado en el origen y de integrar la construcción en el plano complejo. Cualquier vértice de $A_1 B_1 C_1 D_1$ es la imagen de la correspondiente vértice en el $A_0 B_0 C_0 D_0$ plaza a través del mapa:

$$ z \mapsto w_1\cdot z+t_1 \tag{1}$$ por lo tanto: $$ O_A = \frac{A_1+A_2+A_3+A_4}{4} = \frac{t_1+t_2+t_3+t_4}{4}+\frac{w_1+w_2+w_3+w_4}{4}\cdot A_0 \tag{2} $$ pero, obviamente,$B_0 = i A_0, C_0=i B_0, D_0=i C_0$, por lo que si traducimos $O_A O_B O_C O_D$$-\frac{t_1+t_2+t_3+t_4}{4}$, los nuevos puntos cumplir la misma relación, por lo tanto son los vértices de un cuadrado.

También tenemos que el centro de la $O_A O_B O_C O_D$ es el centroide de los centros de la original plazas.

Podemos abordar el área de la conjetura a través de el mismo enfoque. Si $O,A,B$ los tres puntos en el plano Euclidiano, el área de $AOB$ está dado por $\frac{1}{2}\left|(A-O)\times(B-O)\right|$. Si incorporamos el plano Euclidiano en el plano complejo y asumir que $O$ es el origen, la (orientado a) área de $AOB$ está dado por $\frac{1}{2}\text{Im}\left(\overline{A}\cdot B\right)$.