Considerar la serie de $$\zeta(x) = \sum_{n\ge 1}\frac {1}{n^x}.$$
Para que $x \in[0,\infty)$ lo hace converger pointwise? En qué intervalos de $[0,\infty)$ lo hace converger uniformemente?
Mi trabajo:
Creo que puedo afirmar (sin pruebas, ya que esto va de nuevo a Calc II?) que hemos pointwise convergencia para $x>1$.
Para la convergencia uniforme, hacemos uso de la M de Weierstrass de la Prueba, y ver muy fácilmente que nuestra serie de funciones en x está delimitado por una serie de constantes:
$$|\frac{1}{n^x}| \le \frac{1}{n^2}$$
para cada n, y para todos los $x \in [2,\infty)$.
Pero la serie de constantes, $\frac{1}{n^2}$, converge, por lo que la serie original en $x$ converge uniformemente en el conjunto $[2,\infty)$.
Es correcto esto? Si sí, entonces mi pregunta es sobre el conjunto de $(1,2)$, es decir, los números mayor que $1$ pero menos de $2$. Todavía podemos obtener pointwise convergencia en este set - ¿cómo puedo decir algo acerca de la posibilidad de la convergencia uniforme en este conjunto? Por ahora, no tengo una conveniente enlazado como hice para el conjunto de $[2,\infty)$.
Hay un refinado límite superior o alguna otra prueba para la convergencia uniforme que podría ser útil - o algo que yo pueda decir para descartar la convergencia uniforme en este conjunto más pequeño?
Gracias de antemano,
Edit: ¿Cuál es el límite cuando x tiende a infinito? Es decir, ¿qué es $$lim_x->\infty,\zeta(x) = \sum_{n\ge 1}\frac {1}{n^x}?$$
Por el teorema de convergencia dominada (de serie), al señalar que $$|\frac{1}{n^x}| \le \frac{1}{n^{1+ \delta}}$$ for all n , and for all x $\en$ [1+$\delta$,$\infty$), and the fact that $\frac{1}{n^{1+ \delta}}$ is summable, we have that $$\lim_{x->\infty}\sum_{n\ge 1}\frac {1}{n^x} = \sum_{n\ge 1} lim_{x->\infty} \frac {1}{n^x}.$$
...¿cuál es ese límite? Evaluar el límite en el R. H. S., si reparamos cualquier n>1, todos estos términos son cero. Pero lo que sobre el caso en el que fijar n=1 y evaluar este límite? Parece que tenemos un $1^{\infty}$ situación.
