Ventana Rectangular $\psi$ función de onda y el cálculo de $\langle p^2\rangle$ para

Question

Actualmente estoy considerando una ventana rectangular $\psi$ función de: $$ \psi(x) = \begin{cases}\left(2a\right)^{-1/2}&\text{for } |x|<a \\ 0&\text{otherwise.} \end{casos} $$ Estoy interesado en el impulso de la incertidumbre de esta función. Espero que sea una función de a, el 'ancho' de $\psi$ en el x-espacio.

Yo reclamo que $\langle{p}\rangle = 0$ debido a que este es un estado estacionario y por lo $m\frac{d\langle x\rangle}{dt} = 0 $. Este repuestos mí un juicio para tomar la derivada de una función de paso, que me voy a tener que hacer, aunque para $\langle{p^2}\rangle$.

Para $\langle{p^2}\rangle$ I debe calcular:

$$ {-\manejadores^2\int_{-a}^a\psi^*\frac{d^2}{dx^2}\psi} \,dx . $$

Esto requiere tomar la segunda derivada de un cuadrado en función de la ventana, que me imagino que llevará a infinito de valores. En lugar de eso, voy a trabajar en el impulso de espacio después de calcular la transformada de Fourier de $\psi$ por que tengo la función de sinc: $$ \phi(p) = \sqrt{\frac{\manejadores} {\pi}}\frac{\sin(\frac {\pi p}{\manejadores})}{p}. $$ Y entonces traté de calcular el $\langle p^2 \rangle$ $$ \langle p^2\rangle = \frac{\manejadores} {\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2(\frac {\pi p}{\manejadores})}{p^2}p^2dp = \frac{\manejadores} {\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\sin^2(\frac {\pi p}{\manejadores})} dp \rightarrow \infty $$

¿Estoy equivocada? Este diría que la incertidumbre en el impulso, $\sqrt{\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2}$ , es infinito, independientemente de la anchura $a$ de la $x$-localización.

Answer 1

Usted también puede mirar este problema desde un punto de vista práctico. Si usted puede incluso tomar un alisado (permitido) versión de una ventana rectangular $\psi$ función, usted terminará para arriba con muy empinada "bordes" de su función. Y ahora, desde el punto de vista matemático tendrá muy grandes valores de la derivada en torno a $-a$ $a$ (lo que significa grandes valores de impulso en QM), y, en consecuencia, un enorme $\langle p^2 \rangle$, mientras que $\langle p \rangle$ seguirá siendo cero debido a que los signos opuestos de derivados de valores.
En su Fourie, transformar, este alisado de la función de onda significa la integración más grande pero finito de la región, que le llevará de nuevo a una gran incertidumbre.

Answer 2

Sólo para su auto de verificación, usted podría pesar de hacer el cálculo de la $x$ de representación,

$$ {(1) \ \langle p^2 \rangle = -\manejadores^2\int_{-a}^a\psi^*\frac{d^2}{dx^2}\psi} \,dx . $$

donde puedo comprender que asumen las unidades en que $2m = 1$.

Ahora, la derivada de el paso ascendente de la función es la que sube a $x=-a$ $\delta(x + a)$ y desde el descenso de la función de paso que va hacia abajo en $x=a$ puede ser escrito como 1 - el paso de la función, su derivada es $-\delta(x - a)$. Por lo tanto

$$ (2) \frac {d W(x;a)}{dx} = \frac {\delta(x+a) - \delta(x-a)}{\sqrt {2a}} .$$

Ahora, vamos a usar (2) en (1).

$$ \ \langle p^2 \rangle = - \frac {\hbar^2}{2a} \int_{-a}^a \frac {d}{dx} \left[ \delta(x+a) - \delta(x-a) \right] dx .$$

$$ \ \ \ \ \ \ = - \frac {\hbar^2}{2a} \left[ \delta(x+a) - \delta(x-a) \right] \Bigg|_{-a}^{a} = \frac {\hbar^2}{a} \cdot \infty \ \ \ . $$

Es exactamente el mismo como lo que se obtiene con el cálculo de la $p$ espacio, si corrige el error en $\phi (p)$, donde debe aparecer $\hbar $, no $\sqrt {\hbar}$ .