Formalmente liso vs lisa

Question

A (conmutativa) álgebra $A$ se llama formalmente liso si por alguna (propiedad conmutativa) álgebra $R$ y un ideal de a $I\subset R$ tal que $I^2=0$, todos los morfismos $A\to R/I$ levanta a una de morfismos $A\to R$.

Supongamos ahora que $X$ es una variedad y $A$ es el álgebra de funciones regulares.

Cómo son las definiciones formales de la suavidad de $A$ y la suavidad de la variedad $X$ relacionados?

Son las dos nociones equivalentes? No parece ser el caso, pero no sé cómo demostrarlo. Yo podría ser muy tonto aquí. En este caso yo estaría encantado si usted explicar que a mí.

Muchas gracias!

Answer 1

No ha introducido una base de anillo para las diversas álgebras en juego; permítanme indicar es por $A_0$. (En el caso de variedades, que tomaría $A_0$ a un campo, pero que no afecta a nada.)

Para un finitely presentó $A_0$-álgebra $A$, formal suavidad es equivalente a la suavidad. (Y si $A_0$ es Noetherian, por ejemplo, un campo, entonces f.p. es equivalente a lo finito tipo.)

En particular, para los afín anillo de una variedad afín, formal suavidad sobre el campo de tierra $k$ es equivalente a la variedad suave.