La integración de $\int{\frac{e^{\arctan{x}}}{\sqrt{1 + x^2}}dx}$

Question

Yo no estoy familiarizado con la forma de una mucho, pero sé que la mayoría de la regla más importante.
$$\int{\frac{e^{\arctan{x}}}{\sqrt{1 + x^2}}dx}$$

Mi método :

Asumo $u = \arctan{x}$ $\displaystyle du = \frac{1}{1 + x^2}dx$ y me sale esta integral:
$$\int{\sec{u}e^{u}du}$$

Pero no tengo ninguna idea más!

Puede usted ayudarme por favor? Gracias.

Answer 1

Elija $x=\tan u$, lo $dx=\frac{\mathrm{d}u}{\cos^2(u)}$ y su integral se convierte en

$$\int \frac{e^u}{\cos^2(u)\sqrt{1+\tan^2(u)}}\mathrm{d}u $$

luego de recordar que el $1+\tan^2(u)=\frac{1}{\cos^2(u)}$, por lo que tiene

$$\int\frac{e^u}{\cos(u)}\mathrm{d}u $$

Wolfram Alpha le da una forma cerrada de la presente en el término de la función Hipergeométrica, dudo que una bonita forma cerrada se puede encontrar