Si $M$ es una variedad de dimensión $n$, hace singular cohomology $H^i(M, \mathbb{C})$ desaparecen cuando se $i > n$ ?
Si $M$ es una variedad algebraica $\mathbb{C}$, equipado con el ordinario de la topología, se puede decir algo acerca de la desaparición de la más singular cohomology?
Si $M$ es un complejo algebraicas variedad de dimensión $n$, entonces su dimensión real es de $2n$, por lo que su singular cohomology se desvanece en grados $i > 2n$. También se puede probar a decir cosas acerca de lo que sucede en el rango de $0 \leq i \leq 2n$.
E. g. si $M$ es suave, proyectiva, y conectado, entonces el pensamiento de un verdadero colector, $M$ es compacta y orientable, y conectado a la dimensión $2n$, y así $H^{2n}$ es unidimensional. De manera más general, la dualidad de Poincaré se relaciona $H^i$ $H^{2n - i}$ (con $\mathbb C$ coeficientes).
E. g. si $M$ es afín, entonces, en el hecho de $H^i$ se desvanece si $i > n$. Este es un resultado de Mike Artin, que ofrece una reinterpretación de un anterior resultado de Lefschetz (lo que comúnmente se llama débil Lefschetz).
En general, hay un montón de teoría acerca de la singular cohomology de complejo de variedades. En la suave proyectiva caso, además de la información proporcionada por real colector de la teoría (es decir, la dualidad de Poincaré) uno tiene una aportación adicional de la teoría de Hodge.
En el caso general, uno tiene Deligne del mixto teoría de Hodge.
De nuevo en el buen proyectiva caso, también se tiene la difícil teorema de Lefschetz, que más o menos se puede interpretar diciendo que la interesante cohomology aparece en el grado medio, es decir, en $H^n$.
También existe la teoría de cerca y la desaparición de los ciclos, que proporciona herramientas para describir cómo la cohomology cambia cuando una variedad lisa degenera en virtud de la deformación a una singular variedad. (Este es un complejo analítica analógica de Morse de la teoría.)
Para concluir: esta es un área importante de investigación, y sólo he descrito algunas de las herramientas básicas y temas.
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