Dualidad de Pontryagin para grupos finitos

Question

Deje $\mathbb{Q}$ denotar el grupo de los números racionales (con la adición de la operación binaria) y deje $\mathbb{Z}$ denotar el subgrupo de los números enteros. El Pontryagin dual de un grupo de $G$ es el grupo $G^* = \operatorname{Hom}(G,\mathbb{Q/Z})$. (Es más útil cuando G es abelian).

1. Mostrar que $G^*$ es finito si $G$ es un grupo finito.
2. Supongamos $G = \mathbb{Z}/n$ para un entero no negativo,$n$. Mostrar que $G^*$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/n$. Calcular $G^*$ (hasta el isomorfismo) para el grupo simétrico de 3 letras.

1 sé si $G$ es finito todos sus elementos son de orden finito, y $\mathbb{Q/Z}$ tiene infinitos elementos, todos de orden finito. Pero no sé a dónde ir desde allí, o si esa es la idea correcta para comenzar con. Primera parte de 2 de los sonidos, como se desprende de un trabajo similar que se hace en 1, aunque, en este momento todo lo que puedo decir es que $G^*$ sería finito. Para la segunda parte de 2 sé cómo la $S_3$ grupo funciona, pero no sé cómo ir sobre la búsqueda de todos los homomorphisms de a $\mathbb{Q/Z}$, excepto, de nuevo, el 1 me dice que sería una cantidad finita. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Tengo una sugerencia para 1. Sí, $\mathbb Q / \mathbb Z$ tiene un número infinito de elementos, pero, ¿cuántos elementos tiene de orden $n$, para un determinado $n$? (Por lo tanto, estas serían las posibilidades de los elementos de $G$ a ser asignado.)

Answer 2

He aquí una solución alternativa a los de Jack. Supongamos primero que $G$ es abelian, y se descompone como suma directa de grupos cíclicos. Desde $\hom(A \oplus B, H) \cong \hom(A, H) \oplus \hom(B, H)$ para cualquier abelian grupos $A,B,H$, estamos reducidos a mostrar que la $2$ es cierto. Ahora basta con comprobar directamente que no se $n$ imágenes posibles para el generador de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (se $0/n, 1/n, \dots, (n-1)/n$, como Patrick sugerencias). De hecho, esta muestra que, para un determinado grupo abelian $G$, tenemos $G\simeq G^*$ ('$\simeq$' denota la no canónica de isomorfismo).

Ahora si $G$ no es abelian, aviso que por el hecho de que el abelianization functor que queda adjunto a la olvidadizo functor $\mathbf{AbGrp} \to \mathbf{Grp}$, tenemos un isomorfismo canónico

$$\hom(G_{Ab}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \cong \hom(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$$

lo que muestra que $\hom(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ es finito para cada grupo finito $G$ (de hecho, por cada grupo de $G$ cuyo abelianization es finito).