raíz cuadrada conmuta con la multiplicación para elementos positivos en un $C^*$ ¿Álgebra?

Question

Dejemos que $A$ sea un unital $C^*$ el álgebra. Si $z\in A$ es invertible, entonces también lo es $z^*$ y $z^*z$ y, además, $z^*z$ es positivo, por lo que podemos definir mediante el cálculo funcional $|z|=\sqrt{z^*z}$ . Mi libro afirma entonces que $|z|$ es invertible con la inversa $\sqrt{(z^*z)^{-1}}$ . ¿Por qué es $|z|*|z|^{-1}=1$ ? A mí me parece que esto trata de decir que $\sqrt{z^*z}*\sqrt{(z^*z)^{-1}}=\sqrt{(z^*z)(z^*z)^{-1}}=\sqrt1=1$ Pero no veo por qué se puede sacar el producto dentro de la raíz cuadrada como se puede hacer con los reales (no sé si es así como se demuestra la afirmación).

No veo cómo algunas de las propiedades básicas sobre las funciones continuas pasan por el cálculo funcional y se mantienen dentro de $A$ .

Answer 1

Por definición, el cálculo funcional (continuo) asociado a un operador normal $x$ es un continuo $*$ -homorfismo $\varphi:C(\sigma(x))\to A$ enviando la función de inclusión $\sigma(x)\to\mathbb{C}$ a $x$ , donde $\sigma(x)$ es el espectro de $x$ . En su caso, $x=z^*z$ y $|z|$ se define como $\varphi(f)$ donde $f$ es la función de raíz cuadrada. De manera similar, $|z|^{-1}$ es $\varphi(g)$ , donde $g$ es la función $g(t)=1/\sqrt{t}$ (que en $C(\sigma(x))$ desde $0\not\in\sigma(x)$ ). Así que $|z|\cdot|z|^{-1}=\varphi(f)\varphi(g)=\varphi(fg)$ . Pero el producto puntual de las funciones $f$ y $g$ es sólo la función constante $1$ Así que $\varphi(fg)=\varphi(1)=1$ .

En general, el objetivo del cálculo funcional es que se pueda hacer todo "como se puede hacer con los reales" (siempre que se apliquen funciones a un solo operador normal, o más generalmente a un operador conmutativo $*$ -), porque la suma y la multiplicación en $C(\sigma(x))$ son sólo sumas y multiplicaciones puntuales de números ordinarios.

(Si su definición de $|z|$ y/o $|z|^{-1}$ no es a través del cálculo funcional en $x$ , se puede comprobar fácilmente que las definiciones de cálculo funcional anteriores cumplen los criterios de cualquier otra definición que se tenga y, por tanto, coinciden).

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\lvert z \rvert ^{-2} = ( \lvert z \rvert ^2)^{-1} = (z^*z)^{-2} $$ Tomando las raíces cuadradas se obtiene el resultado.

Answer 3

Dejemos que $a=z^*z$ y $b=(z^*z)^{-1}=z^{-1}(z^*)^{-1}=z^{-1}(z^{-1})^*$ . Entonces $a$ y $b$ son elementos positivos conmutables para los que $ab=1=ba$ . Sea $\sqrt{a}$ y $\sqrt{b}$ sean las raíces cuadradas positivas de $a$ y $b$ . Entonces $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{b}\sqrt{a}$ porque $\sqrt{a}$ y $\sqrt{b}$ son límites de polinomios en $a$ y $b$ respectivamente. Por lo tanto, $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{b}\sqrt{a}$ es positivo y $$ (\sqrt{a}\sqrt{b})^2 =ab=1. $$ Por lo tanto, $$ (\sqrt{a}\sqrt{b}-1)(\sqrt{a}\sqrt{b}+1)=0. $$ Porque $\sqrt{a}\sqrt{b}$ es positivo, entonces $\sqrt{a}\sqrt{b}+1$ es invertible. Por lo tanto, $\sqrt{a}\sqrt{b}-1=0$ que es lo que querías mostrar: $$ \sqrt{a}^{-1}=\sqrt{b} \\ \sqrt{z^*z}^{-1} = \sqrt{(z^*z)^{-1}}. $$