Dejemos que $X$ sea un espacio de Hausdorff. Supongamos que $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ es tal que $\{(x,f(x)):x\in X\}$ es un subconjunto compacto de $X\times \mathbb{R}$ .
¿Cómo podría mostrar $f$ es continua?
Respuesta
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Demuestre que la preimagen de un conjunto cerrado bajo $f$ es cerrado (elevar un conjunto cerrado primero a $X \times \mathbb{R}$ a través de la proyección $X \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , intersecar el resultado con el gráfico y proyectar hacia abajo hasta $X$ ).
Alternativamente, observe que $p_X(x,f(x)) = x$ es una biyección continua desde el gráfico hasta $X$ . Las hipótesis implican que se trata de un homeomorfismo. Entonces observemos que $f = p_{\mathbb R} \circ (p_{X})^{-1}$ es una composición de funciones continuas.
