Hay al menos un trivial tipo de ejemplo. Deje $X$ por el Knaster-Kuratowski ventiladory deje $A=\{p\}$ donde $p$ es la dispersión punto de $\left\langle\frac12,\frac12\right\rangle$. (Me tome el conjunto vacío, ya que no es la unión de dos no-vacío, de a pares distintos bloques abiertos.)
Añadido: Aquí hay un mejor ejemplo. Deje $X=S^1\times\Bbb R$ con la siguiente métrica: para $\langle x_0,y_0\rangle,\langle x_1,y_1\rangle\in Y$ vamos
$$\big(\langle x_0,y_0\rangle,\langle x_1,y_1\rangle\big)=\begin{cases}
|y_0-y_1|,&\text{if }x_0=x_1\\
|y_0|+|y_1|+\rho(x_0,x_1),&\text{if }x_0\ne x_1\;,
\end{casos}$$
donde $\rho$ es cualquier métrica en el círculo de $S^1$ generación de la topología usual, por ejemplo, la restricción de la métrica Euclidiana en el plano. Vamos $A=S^1\times\{0\}$. $X$, $A$, y $A\setminus\{a\}$ $a\in A$ son todos trayectoria-conectado y por lo tanto conectado. Sin embargo, para $a=\langle x,0\rangle\in A$ el conjunto $X\setminus\{a\}$ tiene tres componentes, $\{x\}\times(0,\to)$, $\{x\}\times(\leftarrow,0)$, y $(S^1\setminus\{a\})\times\Bbb R$, por lo que no está conectado.
