La secuencia de la máquina de escribir

Question

La sucesión de la máquina de escribir es un ejemplo de sucesión que converge a cero en la medida pero no converge a cero a.e.

¿Podría alguien explicar por qué no converge a cero e.a.?

Nota: el secuencia de la máquina de escribir (Ejemplo 4).

Answer 1

He dibujado las primeras 63 funciones de la secuencia para ayudarme a entender sus convergencias. También podría ayudar a otros a entender las respuestas dadas anteriormente:

Lamentablemente, aquí sólo puedo adjuntar el formato rasterizado. Por si alguien quiere reproducirlo, aquí está el código Latex:

\documentclass[9pt]{standalone}

\usepackage{bbm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{tikz,pgfplots}
\usetikzlibrary{arrows}

\newcommand{\nMAX}{63} 
\newcommand{\xGrSamp}{8} 

\begin{document}
\centering
\begin{tikzpicture}[font=\Large,shorten >=-2.5pt,shorten <=-2.5pt] 
\begin{axis}[
    axis x line*=bottom,
    axis y line*=right,
    axis z line*=left,  
    plot box ratio = 3 1000 2,
    view={.3}{.2},  
    xmin=-0.2,    xmax=1.25,         
    ymin=0.6,    ymax=\nMAX+0.3,                                 
    zmin=0,    zmax=1.0,
    xtick={0,1/8,2/8,3/8,4/8,5/8,6/8,7/8,1},
    xticklabels={$0$,$\frac{1}{2^3}$,$\frac{2}{2^3}$,$\frac{3}{2^3}$,$\frac{4}{2^3}$,$\frac{5}{2^3}$,$\frac{6}{2^3}$,$\frac{7}{2^3}$,$1$},
    ytick={0,...,\nMAX},    
    ztick={0,...,1.0},       
    xlabel=$x$,
    ylabel=$n$,
    zlabel=$f_n(x)$,
    x label style={at={(axis description cs:0.067,-0.001)},anchor=north},
    y label style={at={(axis description cs:0.062,0.145)},anchor=south},    
    z label style={at={(axis description cs:-0.002,0.035)},anchor=south},     
    yscale=5,
    xscale=5,
    legend entries={$f_n(x)=1\,$,
                    $f_n(x)=0\,$},
    legend style={rounded corners=3pt,at={(0.023,0.14)}},   
    legend style={nodes={scale=1.5, transform shape}},
    legend plot pos=right,
]
\foreach \n in {1, ..., \nMAX} 
{
    \pgfmathsetmacro\k{floor(log2(\n+1e-1))}
    \pgfmathsetmacro{\xm}{-0.2}
    \pgfmathsetmacro\xM{1.2}
    \pgfmathsetmacro\xa{(\n-(2^(\k)))/(2^(\k))}
    \pgfmathsetmacro\xb{(\n-(2^(\k))+1)/(2^(\k))}
    \edef\temp
    {
        \noexpand\coordinate (d1) at (axis cs:\xm,\n,0);
        \noexpand\coordinate (d2) at (axis cs:\xa,\n,0);    
        \noexpand\coordinate (d3) at (axis cs:\xa,\n,1);
        \noexpand\coordinate (d4) at (axis cs:\xb,\n,1);    
        \noexpand\coordinate (d5) at (axis cs:\xb,\n,0);        
        \noexpand\coordinate (d6) at (axis cs:\xM,\n,0);    
        \noexpand\coordinate (g0) at (axis cs:\xm,\n,1);
        \noexpand\coordinate (g1) at (axis cs:\xM,\n,1);                
    }
    \temp
    \draw[blue,<-o] (d1)--(d2);
    \draw[black,dashed,line width=0.04mm] (d2)--(d3);
    \draw[red,*-*]   (d3)--(d4);
    \draw[black,dashed,line width=0.04mm] (d4)--(d5);       
    \draw[blue,o->] (d5)--(d6); 
    \draw[black,dashed,line width=0.04mm] (g0)--(g1);   
}
\pgfplotsinvokeforeach{0, ..., \xGrSamp} 
{
    \draw[black,dashed,line width=0.06mm] (axis cs:#1/\xGrSamp,0,0)--(axis cs:#1/\xGrSamp,\nMAX,0);
}   
\addlegendimage{no markers,red}
\addlegendimage{no markers,blue}
\end{axis}
 \node[rectangle,draw,rounded corners=3pt,text width=7.7cm] at (29.3,1.7) 
 {\huge Typewriter Sequence: \\$f_n(x)={\mathbbm{1}}_{[\frac{n-2^k}{2^k},\frac{n-2^k+1}{2^k}]},$\\
    $\forall\, k\geq 0\,\, \&\,\, 2^k\leq n<2^{k+1} $};
\end{tikzpicture}

\end{document}

Answer 2

Demostración visual animada

A medida que avanza la secuencia, las funciones indicadoras se desplazan de izquierda a derecha sobre $[0,1]$ y luego la mitad de la anchura, al llegar al final, y luego repetir esto ad infinitem. Pero entonces, cada recorrido de izquierda a derecha de una anchura determinada debe, en algún momento, tener un valor de $1$ por cada $x$ en el intervalo. Por lo tanto, a lo largo de los infinitos recorridos de izquierda a derecha, cada $x$ alcanza un valor de $1$ infinitas veces. Pero como $x$ suele ser $0$ no debe tener ningún límite puntual.

Por otro lado, la anchura del intervalo sobre el que cada función es $1$ disminuye a $0$ y las funciones son finalmente picos infinitesimales. Así que su "tamaño" (tanto en términos de $L^1$ norma y medida) converge a cero.

Esto también explica el origen del nombre de la secuencia, ya que se parece al retorno de carro de una máquina de escribir que la devuelve al punto de partida.

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Escribí la secuencia en Desmos utilizando $\frac{\operatorname{sign}\left(x-c\right)+1}{2}=\textbf{1}_{(c,\infty)}$ , excepto en $x=c$ donde se encuentra $0.5$ y $1-\operatorname{sign}(x-c)^2=\begin{cases}1,&x=c\\0,&\text{else}\end{cases}$ . Esto da una expresión para las funciones en términos de la $\operatorname{sign}(\cdot)$ que puede ser interpretado por el programa y puede ser simplificado en la forma de la animación anterior. El enlace al proyecto está disponible aquí .

Answer 3

Tenga en cuenta que en cualquier elección de $x$ y para cualquier número entero $N$ Hay un $n>N$ con $f_n(x)=1$ . Así, la secuencia numérica $f_n(x)$ no puede converger a $0$ .

Sin embargo, hay que tener en cuenta que podemos seleccionar un subsiguiente de esta secuencia de funciones que converge puntualmente a.e.

Answer 4

Haz un dibujo de la función genérica $f_n$ en la secuencia de la máquina de escribir. Es un rectángulo de altura 1 sobre un intervalo de anchura $1/2^k$ con valor cero en otros lugares. A medida que la secuencia avanza, los rectángulos se deslizan por el intervalo de la unidad, de la misma manera que una máquina de escribir se mueve por la página. En cada "retorno de carro" de la máquina de escribir, comienza una nueva fila de rectángulos, cada uno de los cuales tiene la mitad de la anchura anterior. Puedes ver que para cada punto $x$ en el intervalo unitario, la secuencia $f_n(x)$ toma los valores cero y uno con una frecuencia infinita, por lo que $f_n(x)$ no puede converger a ningún número.

Answer 5

Escribí esta secuencia de funciones como un contraejemplo para una pregunta que fue borrado.

$$ f_n(x)=\left[\frac km\le x\lt\frac{k+1}m\right] $$ donde $[\dots]$ son Soportes Iverson , $m=\left\lfloor\frac{1+\sqrt{1+8n}}2\right\rfloor$ y $k=n-\frac{m(m-1)}2$ .

La secuencia de la máquina de escribir es una subsecuencia de esta secuencia (cuando $m$ es una potencia de $2$ ). Al igual que la secuencia de la máquina de escribir, esta secuencia no tiende a $0$ punto de vista, pero su $L^1$ normas se desvanecen.