Todos los ideales de la localización es una extensión ideal

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con $1$. Deje $S$ ser un multiplicatively subconjunto cerrado de $R$,$0\notin S,1\in R$. Deje $R_S$ ser la localización de $R$$S$. Para cada ideal $\mathfrak{a}\subseteq R$$R$, definir $$\mathfrak{a}^e:=f(\mathfrak{a})R_S$$ donde $f:R\longrightarrow R_S$ es la canónica de morfismos el envío de $r$ $\frac{r}{1}$ $f(\mathfrak{a})R_S$significa que el ideal generado por a$f(\mathfrak{a})$$R_S$.

Quiero demostrar (o refutar) que todos los ideales $\mathfrak{b}$ $R_S$ es prolongado, lo que significa que es de la forma $$\mathfrak{b}=\mathfrak{a}^e$$ para algunos ideales $\mathfrak{a}$$R$.

Answer 1

Dado $\mathfrak{b}\lhd R_S$, quiere mostrar que $\mathfrak{b}=\mathfrak{b}^{ce}$ donde $\mathfrak{b}^c$ es la contracción de $\mathfrak{b}$$R$. Claramente $\mathfrak{b}^{ce}\subset\mathfrak{b}$. Para el reverso de la inclusión $$ \frac{r}{s}\in\mathfrak{b}\Rightarrow\frac{r}{1}=\frac{s}{1}\frac{r}{s}\in\mathfrak{b}\Rightarrow r\en\mathfrak{b}^c\Rightarrow\frac{r}{s}=\frac{1}{s}\frac{r}{1}\(\mathfrak{b}^c)^e $$

Answer 2

Sugerencia $\ $ de Todos los ideales $\rm\:I\subset S^{-1}R\:$ puede ser generado por los elementos de a $\rm\,R,\,$ desde $\rm\: r/s\in I\iff r\in I.$