Probar la convergencia de la serie

Question

Ayuda por favor para demostrar la convergencia: $$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sin \frac{1}{n}}-n\cos\frac1n\right)\cos \frac{\pi n(n-1)}2$$

Esto puede ser comprobado con Dirichlet de la prueba, pero hay vienen los problemas con $$\left(\frac{1}{\sin \frac{1}{n}}-n\cos\frac1n\right)$$ monótono. Otros pasos en este camino son claras. O debo usar otro test?

Answer 1

Deje $\frac{1}{n}=x$.

Por lo tanto, $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{\sin \frac{1}{n}}-n\cos\frac1n\right)=\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{\cos{x}}{x}\right)=$$

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\frac{1}{2}\sin2x}{x\sin{x}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos2x}{\sin{x}+x\cos{x}}=$$ $$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2\sin^2x}{x\left(\frac{\sin{x}}{x}+\cos{x}\right)}=0.$$

Ya que con $$\sum_{n=1}^{\infty}\cos\frac{\pi n(n-1)}{2}$$ you know what to do, by the Dirichlet's Test we'll done if we'll prove that $a_{n+1}\leq a_{n}$, donde $$a_n=\frac{1}{\sin \frac{1}{n}}-n\cos\frac1n$$ or $\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f'(x)>0$, donde $$f(x)=\frac{1}{\sin{x}}-\frac{\cos{x}}{x},$$ que es fácil.

De hecho, $$\lim_{x\rightarrow0^+}f'(x)=\lim_{x\rightarrow0^+}\left(-\frac{\cos{x}}{\sin^2x}-\frac{-x\sin{x}-\cos{x}}{x^2}\right)=$$ $$=\lim_{x\rightarrow0^+}\left(\frac{\sin{x}}{x}+\frac{\cos x(\sin^2x-x^2)}{x^2\sin^2x}\right)=$$ $$=1+\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\sin{x}-x}{x^3}\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\frac{\sin{x}}{x}+1}{\frac{\sin^2x}{x^2}}=$$ $$=1+2\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\cos{x}-1}{3x^2}=1-\frac{1}{3}\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\frac{x^2}{4}}=\frac{2}{3}>0$$ y hemos terminado!