Qué serie converge pregunta

Question

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? Dado $S_1, S_2$ donde

$S_1:$ Una serie $$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$ converge si para un $\epsilon\gt0$ existe $N_o \in N$ tal que $|a_{n+1}-a_{n}|\lt \epsilon$ para todos $n\ge N_o$ .

$S_2:$ Una serie $$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$ converge si $|a_{n+1}-a_{n}|\lt \alpha^n$ donde $\alpha$ es un no real fijo en $(0,1)$ .

Answer 1

Consideremos el caso de $a_n=1$ y observe que las series no convergen en este caso para ambos escenarios ya que tiene que darse la condición de $a_n$ convergiendo a cero como una condición separada aquí.