Cuadrado dentro de un sistema de coordenadas polares

Question

Tengo un cuadrado situado en coordenadas polares. ¿Existe alguna relación general entre el radio y el ángulo, que pueda derivarse a lo largo del lado del cuadrado? De manera más general, dadas las coordenadas de las esquinas del cuadrado; en cualquier punto arbitrario con ángulo theta en cualquiera de los lados del cuadrado, ¿cómo puedo obtener el radio del mismo?

Answer 1

Supongamos que el cuadrado tiene longitud unitaria de lado y está centrado en el origen. Para derivar la ecuación para, por ejemplo, el borde derecho del cuadrado en coordenadas polares, notamos que el borde derecho tiene las ecuaciones definitorias $x=1, -1\leq y\leq 1$. Simplemente podemos observar que este segmento de línea ocupa solo el rango $-\frac{\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$ en coordenadas polares, o sustituir las ecuaciones polares para $x$ e $y$ anteriores para obtener

$r\cos(\theta)=1,\\r\sin(\theta)\in[-1,1].

Resolviendo $r$ en la primera ecuación obtenemos $r=\sec(\theta)$, que es la ecuación polar para el lado derecho; sustituyéndolo en la segunda ecuación nos da el rango para $\theta$ mencionado anteriormente. Métodos similares pueden ser utilizados para los otros lados.

Si las longitudes de los lados y el centro no concuerdan con el que se muestra aquí, entonces en lugar de, por ejemplo, $x=r\cos(\theta)$, primero haremos una sustitución $u,v$ para $x,y$ de modo que el cuadrado en coordenadas $u,v$ se vea como el estándar con longitud unitaria de lado centrado en el origen.

Por ejemplo, si el cuadrado tiene longitud de lado $s$ y está centrado en $(c,d)$ y está rotado por algún ángulo $\omega$, entonces primero sustituimos

$x'=(x-c)/s \\ y'=(y-d)/s$

y luego multiplicamos $(x',y')$ por la matriz de rotación bidimensional con ángulo $-\omega$ para obtener $(u,v)$. Luego llevamos a cabo el procedimiento anterior.