Si $x\mapsto \| x\|^2$ es uniformemente continua en a $E$, la unión de todos los abiertos bolas de radio $r$ $E$ está delimitado $\forall r > 0$

Question

Un subconjunto $E$ $\mathbb{R}^n$ es tal que la función de $x \mapsto \left\Vert x\right\Vert^2$ es uniformemente continua en a $E$. Para $r > 0$, vamos a $E_r$ denotar la unión de todos los abiertos bolas de radio $r$$E$. Demostrar que $E_r$ es limitado para todos los $r > 0$. Encontrar un ejemplo que muestra que $E$ sí no tiene que ser acotada.

He estado trabajando en esto por un tiempo y me parece estar perplejo. Yo sé lo que las definiciones son, pero estoy teniendo problemas para empezar en este problema.

Gracias

Answer 1

Dado $r>0$ positivo $\delta<r$ tal que $x$, $y\in E$ con $|y-x|<\delta$ implica $|y|^2-|x|^2<1$. Deje $m$ ser el centro de una $r$-ball $B\subset E_r$. A continuación, $m$ $y:=m+\delta{m\over2|m|}$ están en $E$; por otra parte $|y-m|<\delta$. De ello se sigue que $$|m|\delta+{\delta^2\over 4}=|y|^2-|m|^2<1\ ,$$ de dónde $|m|<{1\over\delta}$. Esto implica que todos los puntos de $B$ tiene una distancia de $<{1\over\delta}+r$$0$, y desde $E_r$ es la unión de las bolas que se deduce que $E_r$ está acotada.

El conjunto $E:=\{x\in{\mathbb R}^n\ |\ |x|\in {\mathbb N}\}$ es un conjunto ilimitado en el que la función de $x\to|x|^2$ es uniformemente continua.

Answer 2

La función de $f$ es uniformemente continua en el subconjunto $E_r$.

Si por el contrario, $E_r$ es ilimitado para algunos $r>0$, entonces no es una secuencia de vectores $x_n$ tal que $\Vert x_n\Vert\to\infty$, e $B(x_n,r)\subseteq E$. Para todos los $\delta\in(0,r)$$x_n$$x'_n(\delta)=x_n(1+\delta/(2\Vert x_n\Vert))$, a $E_r$, debido a $\Vert x_n-x'_n(\delta)\Vert<\delta<r$. Pero $$f(x'_n(\delta))=f(x_n)\left(1+\frac{\delta}{2\Vert x_n\vert}\right)^2,$$ así $$f(x'_n(\delta))-f(x_n)\ge f(x_n)\frac{\delta}{2\Vert x_n\Vert}=\frac{\delta}2 \Vert x_n\Vert.$$ Este conjunto de diferencias en los valores de $f$ es ilimitado, a pesar de los argumentos de estar dentro de $\delta$ de cada uno de los otros violar el supuesto de que la restricción de $f$ $E_r$es uniformemente continua.

Para un ejemplo de unbounded $E$ I proferir $E=\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$ (mapa esta en la $x$-eje, si quieres que esto funcione para cualquier $n$). No hay distintos puntos dentro de la distancia $<1$ de cada uno de los otros, de manera uniforme la continuidad de cualquier función es automática. Sin embargo, $E$ es ilimitado.