Deje que$f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ st$f(0)=f(1)=0$ luego mida$A = \{h \in [0, 1] \mid \exists x \text{ such that }f(x+h) =f(x)\} \geq 1/2$.

Question

Deje que$f$ sea una función continua de [0, 1] a$\mathbb{R}$ st$f(0)=f(1)=0$. Dejar $A = \{h \in [0, 1] \mid \exists x \text{ such that }f(x+h) =f(x)\}$. Mostrar que el conjunto$A$ tiene la medida de Lebesgue$\geq 1/2$.

No tengo ni idea de probar el reclamo. ¿Alguien puede darme algunos consejos de detalle? Gracias de antemano.

Answer 1

Primero vamos a mostrar que $A$ es de Borel. Dado $\epsilon>0$, vamos a $A_\epsilon=\left\{h\in[0,1]:\exists x\in[0,1-h]\text{ such that }|f(x)-f(x+h)|<\epsilon\right\}$. Desde $f$ es continua, se puede considerar sólo los números racionales en la definición de $A_\epsilon$, es decir, si $\left\{q_n:n=1,2,\ldots\right\}$ el valor del racionales en $[0,1]$, tenemos \begin{align*} A_\epsilon&=\left\{h\in[0,1]:\exists n\text{ s.t. }q_n+h\leq 1\text{ and }|f(q_n)-f(q_n+h)|<\epsilon\right\}\\ &=\bigcup_{n=1}^\infty\left\{h\in[0,1-q_n]:|f(q_n)-f(q_n+h)|<\epsilon\right\} \end{align*}

Cada conjunto de la unión en el lado derecho es Borel (debido a $h\mapsto f(q_n+h)$ es continuo), de modo que cada una de las $A_\epsilon$ es de Borel, y por lo tanto $A=\bigcap_{k=1}^\infty A_{1/k}$ es de Borel.

Ahora extender $f$ $[0,2]$mediante el establecimiento $f(x)=f(x-1)$ por cada $x\in[0,2]$. Deje $M\in[0,1]$ ser un punto de máximo para $f$ $m\in[0,1]$ ser un punto de mínimo de $f$ (por lo que son también los puntos de máximo y mínimo para la extensión de $f$).

Dado $h\in[0,1]$,$f(M+h)\leq f(M)$$f(m+h)\geq f(m)$, así, por el Teorema del Valor Intermedio, existe un punto de $x\in[0,1]$ $M$ $m$ tal que $f(x+h)=f(x)$. Tenemos dos casos:

1. Si $x+h\in[0,1]$,$h\in A$.
2. Si $x+h\not\in[0,1]$, es decir, $x+h\in[1,2]$. Denotar $y=x+h-1$, por lo que $y\in[0,1]$, $y+(1-h)=x\in[0,1]$, y $f(y+(1-h))=f(x)=f(x+h)=f(x+h-1)=f(y)$, por lo $1-h\in A$.

De todos modos, para cada una de las $h\in[0,1]$ le tienen o $h\in A$ o $1-h\in A$. Denotando por $\chi_B$ la función característica de un conjunto $B$, esto implica que $\chi_{[0,1]}(h)\leq \chi_A(h)+\chi_{A}(1-h)$. La integración de esta $[0,1]$ rendimientos $1<2\lambda(A)$ (a integrar el último plazo, el uso de la invariancia de $\lambda$ bajo el mapa de $h\mapsto(1-h)$), que es lo que queríamos.

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Si $f$ es positivo, entonces realmente tenemos $A=[0,1]$. De hecho, en este caso, para cada una de las $h\in[0,1]$ tenemos $f(0)\leq f(h)$$f(1-h)\geq f(1)$, así que de nuevo hay algún punto de $x$ $0$ $1-h$ que $f(x)=f(x+h)$, lo $h\in A$.

Un ejemplo para ver que la desigualdad de $\lambda(A)\geq 1/2$ es óptimo, en el caso general es $f(x)=\sin(2\pi x)$, en cuyo caso $A=[0,1/2]$.