Probar que$A,B$ son similares

Question

Deje$A,B\in M_6(\mathbb{Q})$, de modo que los polinomios mínimos sean$$m_A(x) = m_B(x) = x^2-x-1$ $

Demuestre que por encima de$\mathbb{Q}$,$A$ y$B$ son similares.

Así que$x^2-x-1$ es, por supuesto, irreduable por encima de$\mathbb{Q}$.

Por lo tanto, podemos inferir mediante las dimensiones de$A,B$ (que son$6$ como se indica) que los polinomios característicos deben ser:

PS

¿Cómo debo continuar?

Answer 1

Me gustaría leer en https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_normal_form

La idea es (a través de cualquier campo), se descomponen $V$ a $T$-subespacios invariantes $W$ que son cíclicos, es decir, actúa por potencias de $T$ (genérico) del vector en $w \in W$ generará una base para $W$. En particular, $w, Tw, T^2w, \ldots$ finalmente es linealmente dependiente, y se obtiene unos "mínimos" polinomio $p(T)w = 0$ para el subespacio $W$, y este polinomio se divide el polinomio mínimo. A continuación, el cambio a esta base $w, Tw, \ldots$ es el racional de la forma canónica. Continuar de forma inductiva. Tenga en cuenta que en la descomposición de la $V$, al menos uno de los sumandos se han polinomio mínimo igual a la mínima polinomio en todos los de $V$ (el polinomio mínimo de a $T$ $V$ es el mínimo común múltiplo de polinomios mínimos en los sumandos).

Que a su mínima polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ significa que el polinomio mínimo restringido a cada invariante cíclico subespacio también es $x^2 - x - 1$ (ya que debe ser un factor), que determina la Frobenius forma normal. Para cada matriz con las propiedades que se describen tienen el mismo Frobenius forma normal, así que son similares.