Resolución de la ecuación diofantina $x^2 - y! = 2001$ y $x^2 - y! = 2016$

Question

Recientemente me he enfrentado a un problema:

Resolver la ecuación diofantina $x^2 - y! = 2001$ .

Resolverlo fue bastante fácil. Usted muestra cómo $\forall y \ge 6$ , $9|y!$ y como $3$ divide el RHS, debe dividir el LHS y si $3|x^2 \implies 9|x^2$ y así el LHS es divisible por $9$ y el RHS no lo es. Contradicción. Por lo tanto, la única solución es $(45, 4)$ .

Eso me hizo preguntarme, cómo podemos resolver la Ecuación Diofantina $x^2 - y! = 2016$ . Nosotros no puede aplicar la misma lógica aquí. $2016$ es un múltiplo de $9$ y está claro que $3|x$ y $9 \nmid x$ . ¿Cómo debo proceder a partir de aquí?

Answer 1

Desde $2016= 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$ podemos utilizar el mismo argumento con $2$ o $7$ en lugar de $3$ .

Con $2$ que tenemos:

Si $y \ge 8$ entonces $2^5 \mid y!$ y así $2^5 \mid x^2$ . Esto implica que $2^3 \mid x$ y, como $2^6 \mid y!$ Tendríamos $2^6 \mid 2016$ , lo cual es falso.

Por lo tanto, sólo tenemos que probar $y \le 7$ . La única solución es $x=84, y=7$ .

Con $7$ que tenemos:

Si $y \ge 14$ entonces $7^2 \mid y!$ y así $7^2 \mid x^2$ . Esto implica que $7^2 \mid x$ y tendríamos $7^2 \mid 2016$ , lo cual es falso.

Por lo tanto, sólo tenemos que probar $y \le 13$ . La única solución es $x=84, y=7$ .

Con $3$ el argumento es similar al de $2$ : Si $y \ge 9$ entonces $3^4 \mid y!$ .