Dado $x_0=0,x_1,\ldots,x_n>0,x_1+\ldots+x_n=1$ .
Queremos demostrar $$ \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{\sqrt{1+x_0+\cdots +x_{i-1}}\sqrt{x_i+\cdots +x_n}}<\frac{\pi}2$$
Mi progreso:
Dejemos que $x_0+\cdots+x_i=\sin \alpha_i$
Tenemos $0=\alpha_0<\alpha_1<\cdots<\alpha_n=\frac{\pi}2$
Entonces la desigualdad se convierte en $$ \sum_{i=1}^n \frac{\sin \alpha_i-\sin \alpha_{i-1}}{\cos \alpha_{i-1}}<\frac{\pi}2$$
Entonces no sé cómo tratar esta desigualdad trigonométrica.
Pista. Deja que $t_i=x_0+\cdots +x_{i-1}$ para $i=1,2,\dots,n+1$ . Entonces demuestre que $$\sum_{i=1}^n \frac{t_{i+1}-t_i}{\sqrt{1+t_i}\sqrt{1-t_i}}=\sum_{i=1}^n f(t_i)(t_{i+1}-t_i)<\int_0^1f(t)\,dt=[\arcsin(t)]_0^1=\frac{\pi}{2}.$$ donde $f(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ . Tenga en cuenta que $f$ es estrictamente creciente en $[0,1)$ .
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Por IVT, $\frac{\sin\alpha_i - \sin\alpha_{i-1}}{\cos\alpha_{i-1}} = \frac{\cos\beta_i}{\cos\alpha_{i-1}}(\alpha_i - \alpha_{i-1})$ para algunos $\beta_i \in (\alpha_{i-1},\alpha_i)$ . Desde $\cos\theta$ es decreciente en $(0,\frac{\pi}{2})$ , todos los $\frac{\cos\beta_i}{\cos\alpha_{i-1}} < 1$ y ya está.