Una equivalencia de $\sigma$-aditividad

Question

Sea $(\Omega, \mathcal{A})$ un espacio medible y sea $\nu: \mathcal{A}\to [0, \infty)$ aditiva finitamente con $\nu(\emptyset)=0$. Mostrar lo siguiente:

$\nu$ es $\sigma$-aditiva si y solo si se cumple lo siguiente:

Si $A_j \in \mathcal{A}$ con $A_1 \supseteq A_2 \supseteq \ldots$ y $\mu(A_j)\geq \delta$ para todo $j \geq 1$ para algún $\delta >0$ entonces $\cap_{j=1}^\infty A_j\neq \emptyset$.

Mi prueba para la dirección directa es la siguiente: Supongamos que $\nu$ es $\sigma$-aditiva. Dado que también sabemos que $\nu(\emptyset)=0$ y $\nu(A)\geq 0$ para todo $A\in \mathcal{A}$ (ya que $\mu$ toma sus valores en $[0, \infty)$) entonces $\nu$ es una medida en $\mathcal{A}$. Sea $\{A_j\}_{j=1}^\infty$ una colección de conjuntos en $\mathcal{A}$ tal que $A_1\supseteq A_2 \supseteq \ldots$ y $\nu(A_j)\geq \delta$ para todo $j\geq 1$ para algún $\delta >0$. Supongamos, para contradecir, que $\cap_{j=1}^\infty A_j=\emptyset$. Entonces $\nu(\cap_{j=1}^\infty A_j)=0$. Sin embargo, por continuidad desde arriba tenemos $$0=\nu(\emptyset) = \nu(\cap_{j=1}^\infty A_j)=\lim_{n\to \infty} \nu(A_j)\geq \lim_{n\to \infty} \delta=\delta >0, $$ una contradicción. Por lo tanto, $\cap_{j=1}^\infty A_j\neq \emptyset$.

Para la otra dirección iba a considerar una colección arbitraria $\{A_j\}_{j=1}^\infty$ de conjuntos en $\mathcal{A}$ y definir una nueva colección $\{E_n\}_{n=1}^\infty$ por $E_n=\cup_{j=1}^\infty A_j\setminus (\cup_{i=1}^n A_i)$ para cada $n \geq 1$. Claramente, los $E_n$ son decrecientes, pero no tengo idea de cómo proceder a partir de ahí.

Su ayuda es muy apreciada ¡y gracias de antemano!

Answer 1

Ten en cuenta que

Si $A_j \in \mathcal{A}$ con $A_1 \supseteq A_2 \supseteq \ldots$ y $\nu(A_j)\geq \delta$ para todo $j \geq 1$ para algún $\delta >0$ entonces $\cap_{j=1}^\infty A_j\neq \emptyset$.

implica

Si $A_j \in \mathcal{A}$ con $A_1 \supseteq A_2 \supseteq \ldots$ y $\bigcap_{j=1}^{\infty} A_j = \emptyset$, entonces $\inf_{j \geq 1} \nu(A_j)=0$, es decir, no existe $\delta>0$ tal que $\nu(A_j) \geq \delta$ para todo $j \geq 1$.

(La segunda afirmación es la contrapositiva de la primera.)

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Sugerencias:

1. Demuestra que la secuencia $(E_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definida en tu pregunta es decreciente y satisface $\bigcap_{n \geq 1}E_n = \emptyset$.
2. Concluye que $$0=\inf_{n \geq 1} \nu(E_n) = \lim_{n \to \infty} \nu(E_n).$$
3. Utiliza la aditividad finita de $\nu$ para demostrar que $$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \nu(A_i) = \nu \left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right).$$