Aquí$D^2$ denota el disco cerrado de la unidad en$\mathbb{R}^2$. Sé que$D^2$ no es homeomorfo a$\mathbb{R}^2$ ya que$D^2$ es compacto. Intuitivamente, creo que$D^2\setminus\{0\}$ no es homeomorfo para$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$. Sin embargo, cuando trato de probarlo, no es tan obvio porque los argumentos elementales (por ejemplo, conectividad, compacidad, grupo fundamental) no funcionan en este caso. ¿Hay una buena prueba para esta declaración?
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Milo Brandt
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Supongamos que tenemos un homeomorphism $f$$D^2\backslash\{0\}$$\mathbb{R}^2\backslash\{0\}$. Observe que, si dejamos $S$ ser el límite de la disco, es decir, la circunferencia de radio $1$ centrada en el origen, tendríamos que la imagen $f[S]$ serían algunos no-auto-intersección de bucle en el plano. Sin embargo, esto implicaría, desde el Jordán de la curva de teorema, que, mediante la eliminación de la curva en el plano, obtenemos un conjunto con dos regiones distintas, es decir, el conjunto de $\mathbb{R}\backslash\{0\}\backslash f[S]$ no está conectado. Sin embargo, esta es la imagen de $\mathbb{D^2}\backslash\{0\}\backslash S$ bajo $f$ - que es un ramal de la región, y por lo tanto cualquier $f$ no puede ser un homeomorphism, ya que cualquier homeomorphism a preservar la conectividad.
