A menos que me estoy perdiendo algo, que la afirmación es falsa en general.
Considerar el lenguaje consta de una sola unario símbolo de función $\{f\}$, y la frase se $\varphi$ diciendo que $f$ particiones del dominio en parejas:
$\varphi$ puede ser escrito como
$$\forall x\forall y[(f(x)=f(y)\implies x=y)\wedge (f(f(x))=x)\wedge (\neg f(x)=x)].$$
Cualquier modelo de $\varphi$ se puede dividir en pares, de modo espec$(\varphi)$ se compone de los números pares.
(Tenga en cuenta que en realidad la inyectividad de la cláusula en $\varphi$ es redundante, por lo que solo se necesita una única "$\forall$" para conseguir un contraejemplo.)
Sin embargo, el enunciado es verdadero si queremos restringir la atención a los idiomas sin símbolos de función.
La clave es un preservación teorema: que $\overline{\forall}$frases (es decir, las sentencias cuya forma normal prenex sólo contiene cuantificadores universal) se conservan en tomar subestructuras. Esto es básicamente inmediata de la definición de $\models$ (aunque tenga en cuenta que hay más complicada de la preservación de resultados al final del camino).
Ahora estamos interesados en las oraciones "subir un nivel", pero el hacia abajo preservación de universal frases es útil para nosotros: nos dice que si $\overline{a}$ testigos $$\varphi\equiv\exists\overline{x}\forall\overline{y}\psi(\overline{x},\overline{y})$$ in $\mathcal{M}$, then any substructure of $\mathcal{M}$ which contains $\overline{a}$ also satisfies $\varphi$.
Ya hemos asumido que nuestro idioma es relacional, cualquier subconjunto de a $\mathcal{M}$ es una subestructura; así que si espec$(\varphi)$ no es finito, tenemos modelos de $\varphi$ de cualquier cardinalidad finita, al menos, el número de cuantificadores existenciales en $\varphi$ (tomar una lo suficientemente grande y lo cortan).
(En el anterior he implícitamente pensamiento de constantes como $0$-ary función de símbolos, de modo que no se presente en el idioma. Sin embargo, no representan un problema para el argumento anterior: sólo asegúrese de incluir, junto con el testimonio de la tupla. Es sólo función de los símbolos con arity $>0$, lo que plantea un problema.)
